Question

如圖，AB∥CD，P為定點(diǎn)，E、F分別是AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如圖2，若M為CD上一點(diǎn)，∠FMN=∠BEP，且MN交PF于N．試說(shuō)明∠EPF與∠PNM的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）移動(dòng)E、F使得∠EPF=90°，如圖3，作∠PEG=∠BEP，求

∠AEG

∠PFD

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：幾何圖形問(wèn)題,證明題

分析：（1）過(guò)P作PQ平行于AB，由AB與CD平行，得到PQ與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代換就可得證；
（2）由（1）中的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD，根據(jù)∠FMN=∠BEP，等量代換再利用外角性質(zhì)即可得證；
（3）由（1）中的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD，設(shè)設(shè)∠PFD=x，則∠BEP=90°-x，根據(jù)∠PEG=∠BEP=90°-x，利用平角定義表示出∠AEG，即可求出所求比值．

解答：解：（1）過(guò)P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，
∵∠EPF=∠1+∠2，
∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；
（2）由（1）的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD，
∵∠FMN=∠BEP，
∴∠EPF=∠FMN+∠PFD，
∵∠PNM為△MNF的外角，
∴∠PMN=∠FMN+∠PFD，
則∠EPF=∠PMN；
（3）由（1）的結(jié)論∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，
設(shè)∠PFD=x，則∠BEP=90°-x，
∵∠PEG=∠BEP=90°-x，
∴∠AEG=180°-2（90°-x）=2x，
則

∠AEG

∠PFD

=

2x

x

=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，以及平角定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．