Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx與x軸交于O，A（4，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3）.

（1）求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）已知點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，連接OP，BP. 若要使OP+BP的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象. 當(dāng)直線y=x+m（m≠0）與這個(gè)新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，在反比例函數(shù)y=的圖象中，y的值隨x怎樣變化？判斷并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-）；

（3）y的值隨x的增大而增大.

【解析】分析：（1）把點(diǎn)A（4，0）代入y=x2+bx，求出b,在利用，即可求解.(2) 作O點(diǎn)關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，而P在直線x=2上，則利用軸對(duì)稱(chēng)最短路徑即可求解；（3）由翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再利用根的判別式和反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷出y隨x的增大而減小。

本題解析：

（1）由題意得： ∴b=-4, ∴函數(shù)關(guān)系式為;y=x-4x, ∴對(duì)稱(chēng)軸為： ；

（2）由題意得：OP+PB的值最小，實(shí)際就是在同一直線一旁有兩點(diǎn)，在直線上求點(diǎn)只要取O點(diǎn)關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A(4,0),過(guò)AB的直線與直線x=2的交點(diǎn)就是點(diǎn)p,

設(shè)過(guò)AB的直線為y=kx-3，由B(4,0)在y=kx-3上，∴0=4k-3,得k=,，

∵P在直線x=2上，∴y=,∴P(2,- ),

（3）∵y=x-4x在x軸下方的部分沿x軸翻轉(zhuǎn)，

當(dāng)直線y=x+m(m≠0)有兩個(gè)不相同的解，∴△>0,3-4×m>0,得m<,又m>0, ∴0<m<,在反比例函數(shù)y=中，∵0<m=k<,y隨x的增大而減小.