Question

如圖，拋物線y=

3

3

x2+

7 3

3

x+2

3

與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點O與點D關于直線AC對稱，連接OD，CD，OD交AC于點E
（1）分別求出點A，B，C的坐標；
（2）若反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象過點D，求k的值；
（3）兩動點M，N同時從點A出發(fā)，分別沿AO，AC的方向向點O，C移動，點M秒移動1個單位長度，點N每秒移動2個單位長度，設△MNO的面積為S，移動的時間為t，則S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，能確定拋物線與y軸的交點坐標（即C點坐標）；令y=0，能確定拋物線與x軸的交點坐標（即A、B的坐標）．
（2）欲求出反比例函數(shù)的解析式，需要先得到D點的坐標．已知A、C的坐標，易判斷出△OAC是含特殊角的直角三角形，結合O、D關于直線AC對稱，可得出OD的長，結合∠DOA的度數(shù)，即可得到D點的坐標，由此得解．
（4）首先用t列出AM、AN的表達式，進而可得到N到x軸的距離，以OM為底、N到x軸的距離為高，可得到關于S、t的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質即可得到S的最大值及此時t的值．

解答：解：（1）∵點A、B均在x軸上，
令y=0，即

3

3

x2+

7 3

3

x+2

3

=0；
解得 x₁=-6，x₂=-1，
∴A（-6，0）、B（-1，0）．
令x=0，即y=2

3

，
∴C（0，2

3

）．
綜上所述，A（-6，0）、B（-1，0）、C（0，2

3

）．


（2）如圖，∵由A（-6，0）、C（0，2

3

）得：OA=6，OC=2

3

，
∴cot∠OAC=

6

2 3

=

3

，
∴∠OAC=30°．
∵D與O點關于AC對稱，
∴OD=OA=6，∠DOA=60°，
∴D（-3，3

3

）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象過點D，
∴3

3

=

k

-3

，
∴k=-9

3

．

（3）存在，理由如下：
設AM=t（0＜t＜6），則AN=2t，易求AC=4

3

．
當點N到達終點C時，t=2

3

．
∵2

3

＜6，
∴點M繼續(xù)向右移動，
∴當2

3

＜t＜6時，t越大，△MNO的面積越小．
當t=2

3

時，S=

1

2

×2

3

×（6-2

3

）=6

3

-6．
當0＜t＜2

3

時，S_△MNO=

1

2

•（6-t）•t=-（t-3）²+

9

2

，即當t=3時，S有最大值

9

2

．
∵

9

2

＞6

3

-6，
∴當t=3時，S有最大值

9

2

．

點評：該題考查的知識點有：函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質、圖形面積的解法等，在解答動點函數(shù)問題時，一定要注意未知數(shù)的取值范圍．