【題目】如圖,D是△ABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn),且B,D位于AC的兩側(cè),DEAB,垂足為E,DE的延長線交此圓于點(diǎn)F.BGAD,垂足為G,BGDE于點(diǎn)H,DC,F(xiàn)B的延長線交于點(diǎn)P,且PC=PB.

(1)求證:BGCD;

(2)設(shè)△ABC外接圓的圓心為O,若AB=DH,OHD=80°,求∠BDE的大小.

【答案】(1)證明見解析;(2)20°或40°.

【解析】

(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得:∠PCB=∠PBC,由四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得:∠BAD+∠BCD=180°,從而得:∠BFD=∠PCB=∠PBC,根據(jù)平行線的判定得:BC∥DF,可得∠ABC=90°,AC是⊙O的直徑,從而得:∠ADC=∠AGB=90°,根據(jù)同位角相等可得結(jié)論;

(2)先證明四邊形BCDH是平行四邊形,得BC=DH,根據(jù)特殊的三角函數(shù)值得:∠ACB=60°,∠BAC=30°,所以DH=AC,分兩種情況:

①當(dāng)點(diǎn)ODE的左側(cè)時(shí),如圖2,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,由同弧所對(duì)的圓周角相等和互余的性質(zhì)得:∠AMD=∠ABD,則∠ADM=∠BDE,并由DH=OD,可得結(jié)論;

②當(dāng)點(diǎn)ODE的右側(cè)時(shí),如圖3,同理作輔助線,同理有∠ADE=∠BDN=20°,∠ODH=20°,得結(jié)論.

(1)證明:如圖1,

PC=PB,

∴∠PCB=PBC,

∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓,

∴∠BAD+BCD=180°,

∵∠BCD+PCB=180°,

∴∠BAD=PCB,

∵∠BAD=BFD,

∴∠BFD=PCB=PBC,

BCDF,

DEAB,

∴∠DEB=90°,

∴∠ABC=90°,

AC是⊙O的直徑,

∴∠ADC=90°,

BGAD,

∴∠AGB=90°,

∴∠ADC=AGB,

BGCD;

(2)由(1)得:BCDF,BGCD,

∴四邊形BCDH是平行四邊形,

BC=DH,

RtABC中,∵AB=DH,

tanACB=

∴∠ACB=60°,BAC=30°,

∴∠ADB=60°BC=AC,

DH=AC,

①當(dāng)點(diǎn)ODE的左側(cè)時(shí),如圖2,作直徑DM,連接AM、OH,則∠DAM=90°,

∴∠AMD+ADM=90°

DEAB,

∴∠BED=90°,

∴∠BDE+ABD=90°,

∵∠AMD=ABD,

∴∠ADM=BDE,

DH=AC,

DH=OD,

∴∠DOH=OHD=80°,

∴∠ODH=20°

∵∠AOB=60°,

∴∠ADM+BDE=40°,

∴∠BDE=ADM=20°,

②當(dāng)點(diǎn)ODE的右側(cè)時(shí),如圖3,作直徑DN,連接BN,

由①得:∠ADE=BDN=20°,ODH=20°,

∴∠BDE=BDN+ODH=40°,

綜上所述,∠BDE的度數(shù)為20°40°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元,為了擴(kuò)大銷售、增加盈利盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場平均每天可多售出4件,若商場平均每天盈利2100元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?請(qǐng)完成下列問題:

(1)未降價(jià)之前,某商場襯衫的總盈利為    元.

(2)降價(jià)后,設(shè)某商場每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元,則每件襯衫盈利   元,平均每天可售出   件(用含x的代數(shù)式進(jìn)行表示)

(3)請(qǐng)列出方程,求出x的值.

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(1)求∠BDF的大小;

(2)求CG的長.

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【題目】下列說法正確的是(

A. 一定是一次函數(shù)

B. 有的實(shí)數(shù)在數(shù)軸上找不到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

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【題目】將長為、寬為的長方形白紙,按如圖所示的方法黏合起來,黏合部分寬為.

1)根據(jù)上圖,將表格補(bǔ)充完整:

白紙張數(shù)

1

2

3

4

10

紙條長度

40

75

110

2)設(shè)張白紙黏合后的總長度為,則之間的關(guān)系式是 ;

3)你認(rèn)為白紙黏合起來總長度可能為嗎?為什么?

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求拋物線的解析式;

若點(diǎn)軸上方的拋物線上,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);

若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí),請(qǐng)直接寫出的值.

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