Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，請解決下列問題．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ， ），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ， ）；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），當(dāng)|PD﹣PC|最大時(shí)，求α的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；
（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)為t（其中0＜t＜6），在運(yùn)動過程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)S最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）0,3,1,4
（2）解：∵在三角形中兩邊之差小于第三邊，

∴延長DC交x軸于點(diǎn)P，

設(shè)直線DC的解析式為y=kx+b，把D、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，

∴直線DC的解析式為y=x+3，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，

如圖1，點(diǎn)P（﹣3，0）即為所求；

（3）解：過點(diǎn)C作CE∥x，交直線BD于點(diǎn)E，如圖2，

由（2）得直線DC的解析式為y=x+3，

可求得直線BD的解析式為y=﹣2x+6，直線BC的解析式為y=﹣x+3，

在y=﹣2x+6中，當(dāng)y=3時(shí)，x= ，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，3），

設(shè)直線P′C′與直線BC交于點(diǎn)M，

∵P′C′∥DC，P′C′與y軸交于點(diǎn)（0，3﹣t），

∴直線P′C′的解析式為y=x+3﹣t，

聯(lián)立 ，解得 ，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（ ， ），

∵B′C′∥BC，B′坐標(biāo)為（3+t，0），

∴直線B′C′的解析式為y=﹣x+3+t，

分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜t＜ 時(shí)，如圖2，B′C′與BD交于點(diǎn)N，

聯(lián)立 ，解得 ，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（3﹣t，2t），

S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′= ×6×3﹣ （6﹣t）× （6﹣t）﹣ t×2t=﹣ t2+3t，

其對稱軸為t= ，可知當(dāng)0＜t＜ 時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t= 時(shí)，有最大值 ；

②當(dāng) ≤t＜6時(shí)，如圖3，直線P′C′與DB交于點(diǎn)N，

聯(lián)立 ，解得 ，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），

S=S△BNP′﹣S△BMP′= （6﹣t）× ﹣ ×（6﹣t）× = （6﹣t）2= t2﹣t+3；

顯然當(dāng) ＜t＜6時(shí)，S隨t的增大而減小，當(dāng)t= 時(shí)，S=

綜上所述，S與t之間的關(guān)系式為S= ，且當(dāng)t= 時(shí)，S有最大值，最大值為 ．

【解析】解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴C（0，3），D（1，4），

所以答案是：0；3；1；4；