Question

【題目】如圖在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上，QM在邊BC上．若BC＝8cm，AD＝6cm，

（1）PN＝2PQ，求矩形PQMN的周長(zhǎng)

（2）當(dāng)PN為多少時(shí)矩形PQMN的面積最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）矩形PQMN的周長(zhǎng)＝14.4cm；（2）當(dāng)AE＝3時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積是12，此時(shí)PN＝4．

【解析】

（1）由題意可得出PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB，BC=8，AD=6，據(jù)此可得出PQ，PN的值，故可得出矩形PQMN的周長(zhǎng)；

（2）設(shè)長(zhǎng)方形零件PQMN的邊AE=x，矩形PQMN的面積為S，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，從而得出二次函數(shù)解析式，根據(jù)解析式及自變量取值范圍求S的最大值．

（1）由題意得；PQ：AD＝BP：AB，PN：BC＝AP：AB

∴，

又∵PN＝2PQ，BC＝8cm，AD＝6cm，

∴，

∴PQ＝2.4

則PN＝4.8，

∴矩形PQMN的周長(zhǎng)＝14.4cm；

（2）∵四邊形PQMN是矩形，

∴PN∥BC，∠PQM＝90°，∠QPN＝90°，

∴△PAN∽△ABC，

∵AD是高，

∴∠ADB＝90°，

∴四邊形PQDE是矩形，∠AEN＝90°，

∴，PQ＝DE，

設(shè)AE＝x，矩形PQMN的面積為S，

則，DE＝6﹣x，

∴PN＝x，PQ＝6﹣x，

∴S＝﹣x2+8x．

∴當(dāng)x＝＝3時(shí)，S的最大值為12．，

∴當(dāng)AE＝3時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積是12，此時(shí)PN＝×3＝4．