Question

已知CE與⊙O相切于點(diǎn)C，點(diǎn)A在⊙O上，AE⊥CE于E，OE交⊙O于點(diǎn)F
（1）如圖（1），若EF=1，CE=3，求sin∠OEA的值；
（2）若tan∠ECF=

1

2

，求sin∠OEA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，在Rt△OCE中可求得OC，又OC∥AE，可求得∠OEA=∠EOC，在Rt△OCE中可求得sin∠EOC，則可得出答案；
（2）連接OC，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)M，連接CM，則可證明△CEF∽△MEC，可求得ME=2CE=4EF，可求得CE：OE，同（1）可求得答案．

解答：解：（1）如圖1，連接OC，

∵CE是⊙O的切線，
∴OC⊥CE，
又∵AE⊥CE，
∴OC∥AE，
∴∠OEA=∠EOC，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得OC²+CE²=OE²，
即OC²+3²=（OF+EF）²=（0C+1）²，解得OC=4，
∴OE=4+1=5，
在Rt△OEC中，sin∠EOC=

CE

OE

=

3

5

，
∴sin∠OEA=

3

5

；
（2）如圖2，連接OC，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)M，連接CM，

∵CE是⊙O的切線，MF為⊙O的直徑，
∴OC⊥CE，MC⊥CF，
∴∠MCO+∠OCF=∠OCF+∠FCE，
∴∠MCO=∠FCE，
又∵OM=OC，
∴∠M=∠MCO，
∴∠M=∠FCE，且∠E=∠E，
∴△CEF∽△MEC，
又∵tan∠ECF=

1

2

，
∴

CF

CM

=

CE

ME

=

EF

CE

=

1

2

，
∴ME=2CE=4EF，
∴MF=3EF，則OF=

3

2

EF，
∴OE=

5

2

EF，
∴sin∠EOC=

CE

OE

=

2EF

5 2 EF

=

4

5

，
同（1）可得sin∠OEA=sin∠EOC=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中證得角相等是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用正切值，求得線段的比得到OE和CE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．