Question

【題目】如圖，已知和，其中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接并延長(zhǎng)與直線相較于點(diǎn)，則的最小值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先利用旋轉(zhuǎn)模型易證△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，從而得出∠BPC=∠BAC=90°，即△BPC為直角三角形，BC為斜邊，當(dāng)∠BCP最小時(shí)，BP邊長(zhǎng)最小，以A為圓心，AD為半徑畫圓，可知當(dāng)PC邊與圓的下方相切時(shí)，∠BCP最小，此時(shí)四邊形ADPE為矩形，利用勾股定理求出BD，減去PD即為BP的最小值．

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE

∴∠CAE=∠BAD

在△ABD與△ACE中，

∵AD=AE，∠BAD=∠CAE，AB=AC

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ABD=∠ACE

設(shè)AB，PC交于點(diǎn)F，

∵∠BFP=∠AFC

∴∠BPF=∠CAF=90°

∴∠DPE=90°

∴△BPC為直角三角形，BC為斜邊，當(dāng)∠BCP最小時(shí)，BP邊長(zhǎng)最小

如圖所示，以A為圓心，AD為半徑畫圓，當(dāng)PC邊與圓的下方相切與點(diǎn)E時(shí)，∠BCP最小

∵∠AEP=90°，∠DAE=90°，∠DPE=90°，

∴四邊形ADPE為矩形

∴DP=AE=2，∠ADB=90°

∴在Rt△ABD中，BD=

此時(shí)BP的最小值=BD-DP=

故答案為：．