Question

已知△ABC，△ADE均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，BD的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，交CE于G．
（1）求證：BD⊥CE；
（2）連接AG，求證：EG+DG=

2

AG．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，借助等腰直角三角形的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖，作輔助線；證明A、D、G、E四點(diǎn)共圓，得到∠AGD=∠AED=45°，證明△ADM≌△AEN，得到DM=EN；同理可證GM=GN，得到GN=

GD+GE

2

；證明AN=GN，借助勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答：證明：（1）∵△ABC，△ADE均為等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；在△ABD與△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠GBC+∠GCB=∠ABC+∠ACB=90°，
∴BD⊥CE．
（2）如圖，連接AG；過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DG，
AN⊥GE，交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；
設(shè)AG=λ，GD=μ，GE=γ；
∵∠DAE+∠DGE=180°，
∴A、D、G、E四點(diǎn)共圓，
∴∠AGD=∠AED=45°，
∠AGE=∠ADE=45°，
∠AEN=∠ADM；
∴AG平分∠DGN，
∴AM=AN；在△ADM與△AEN中，

AD=AE AM=AN

，
∴△ADM≌△AEN（HL），
∴DM=EN（設(shè)為λ）；同理可證：GM=GN（設(shè)為μ），
即GD=λ+μ，GE=μ-λ，
∴λ=

GD-GE

2

，GN=GE+λ=

GD+GE

2

；
∵∠AGN=45°，∠N=90°，
∴∠NAG=∠AGN=45°，
∴AN=GN；由勾股定理得：AG²=2GN²，
∴EG+DG=

2

AG．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；牢固掌握定理內(nèi)容，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷．