Question

如圖1是立方體和長方體模型，立方體棱長和長方體底面各邊長都為1，長方體側(cè)棱長為2，現(xiàn)用60張長為6，寬為4的長方形卡紙，剪出這兩種模型的表面展開圖，有兩種方法：
方法一：如圖2，每張卡紙剪出3個立方體表面展開圖；
方法二：如圖3，每張卡紙剪出2個長方體表面展開圖（圖中只畫出1個）．

設(shè)用x張卡紙做立方體，其余卡紙做長方體，共做兩種模型y個．要求制作的長方體的個數(shù)不超過立方體的個數(shù)．
（1）在圖3中畫出第二個長方體表面展開圖，用陰影表示；
（2）請你寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并注明自變量x的取值范圍．
（3）設(shè)每只模型（包括立方體和長方體）平均獲利為w（元），w滿足函數(shù)w=1.6-

x

100

，若想將模型作為教具賣出獲得最大利潤，則應(yīng)該制作立方體和長方體各多少個？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用,作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖

專題：

分析：（1）利用長方體側(cè)面展開圖的性質(zhì)得出符合題意的圖形即可；
（2）利用用x張卡紙做立方體，其余卡紙做長方體，共做兩種模型y個，以及現(xiàn)用60張長為6，寬為4的長方形卡紙，進(jìn)而得出答案；
（3）利用每只模型（包括立方體和長方體）平均獲利為w（元），w滿足函數(shù)w=1.6-

x

100

，進(jìn)而利用（2）中所求得出Q與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）根據(jù)題意可得出：
y=3x+2（60-x）=x+120，（24≤x≤60）；

（3）設(shè)總利潤為Q（元）：
Q=(1.6-

x

100

)(x+120)
=-0.01x²+0.4x+192
=-0.01（x-20）²+196，
∵制作的長方體的個數(shù)不超過立方體的個數(shù)，
∴2（60-x）≤3x，x≥24，
∴24≤x≤60，
∴x=24時，Q_最大=195.84（元），
∴制作的立方體的個數(shù)為3x=3×24=72（個）
制作的長方體的個數(shù)為2（60-x）=2×（60-24）=72（個）
答：制作立方體72個，長方體72個時，利潤最大為195.84元．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及應(yīng)用設(shè)計與作圖，得出Q與x的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．