Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，點A（0，-6），點B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4

3

，直角邊CD在y軸上，且點C與點A重合．Rt△CDE沿y軸正方向平行移動，當點C運動到點O時停止運動．解答下列問題：
（1）如圖（2），當Rt△CDE運動到點D與點O重合時，設CE交AB于點M，求∠BME的度數(shù)．
（2）如圖（3），在Rt△CDE的運動過程中，當CE經(jīng)過點B時，求BC的長．
（3）在Rt△CDE的運動過程中，設AC=h，△OAB與△CDE的重疊部分的面積為S，請寫出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）如圖2，由對頂角的定義知，∠BME=∠CMA，所以欲求∠BME的度數(shù)，需求∠CMA的度數(shù)．根據(jù)三角形外角定理進行解答即可；
（2）如圖3，通過解直角△BOC來求BC的長度；
（3）需要分類討論：①h＜2時，②2≤h＜2

3

時，③2

3

≤h≤6時，依此即可求解．

解答：解：（1）如圖2，∵在平面直角坐標系中，點A（0，-6），點B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4

3

，
∴∠OCE=60°，
∴∠CMA=∠OCE-∠OAB=60°-45°=15°，
∴∠BME=∠CMA=15°；

（2）如圖3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4

3

，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∵OB=6，
∴BC=4

3

；

（3）①h＜2時，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點N，作MF⊥DE交DE于點F，
∵CD=4，DE=4

3

，AC=h，AN=NM，
∴CN=4-FM，AN=MN=4+h-FM，
∵△CMN∽△CED，
∴

CN

CD

=

MN

DE

，
∴

4-FM

4

=

4+h-FM

4 3

，
解得FM=4-

3 +1

2

h，
∴S=S_△EDC-S_△EGM
=

1

2

×4×4

3

-

1

2

（4

3

-4-h）×（4-

3 +1

2

h）
=-

3 +1

4

h²+4h+8，
S_最大=15-

3

．
②當2≤h＜2

3

時，
S=S_△AOB-S_△ACM=

1

2

×6×6-

1

2

h（h+

3 +1

2

h）=18-

3+ 3

4

h²，
S_最大=15-

3

．
③如圖3，當2

3

≤h≤6時，
S=S_△OBC=

1

2

OC×

3

OC=

3

2

（6-h）²，
S_最大=14

3

-36．

點評：本題考查了相似綜合題．此題綜合運用了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、以及三角形外角定理，難度較大．對于第（3）題這類有關(guān)于動點問題，需要分類討論，以防漏解．