Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，-6），點(diǎn)B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4

3

，直角邊CD在y軸上，且點(diǎn)C與點(diǎn)A重合．Rt△CDE沿y軸正方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．解答下列問(wèn)題：
（1）如圖（2），當(dāng)Rt△CDE運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，設(shè)CE交AB于點(diǎn)M，求∠BME的度數(shù)．
（2）如圖（3），在Rt△CDE的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)CE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求BC的長(zhǎng)．
（3）在Rt△CDE的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)AC=h，△OAB與△CDE的重疊部分的面積為S，請(qǐng)寫出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）如圖2，由對(duì)頂角的定義知，∠BME=∠CMA，所以欲求∠BME的度數(shù)，需求∠CMA的度數(shù)．根據(jù)三角形外角定理進(jìn)行解答即可；
（2）如圖3，通過(guò)解直角△BOC來(lái)求BC的長(zhǎng)度；
（3）需要分類討論：①h＜2時(shí)，②2≤h＜2

3

時(shí)，③2

3

≤h≤6時(shí)，依此即可求解．

解答：解：（1）如圖2，∵在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，-6），點(diǎn)B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4

3

，
∴∠OCE=60°，
∴∠CMA=∠OCE-∠OAB=60°-45°=15°，
∴∠BME=∠CMA=15°；

（2）如圖3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4

3

，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∵OB=6，
∴BC=4

3

；

（3）①h＜2時(shí)，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點(diǎn)N，作MF⊥DE交DE于點(diǎn)F，
∵CD=4，DE=4

3

，AC=h，AN=NM，
∴CN=4-FM，AN=MN=4+h-FM，
∵△CMN∽△CED，
∴

CN

CD

=

MN

DE

，
∴

4-FM

4

=

4+h-FM

4 3

，
解得FM=4-

3 +1

2

h，
∴S=S_△EDC-S_△EGM
=

1

2

×4×4

3

-

1

2

（4

3

-4-h）×（4-

3 +1

2

h）
=-

3 +1

4

h²+4h+8，
S_最大=15-

3

．
②當(dāng)2≤h＜2

3

時(shí)，
S=S_△AOB-S_△ACM=

1

2

×6×6-

1

2

h（h+

3 +1

2

h）=18-

3+ 3

4

h²，
S_最大=15-

3

．
③如圖3，當(dāng)2

3

≤h≤6時(shí)，
S=S_△OBC=

1

2

OC×

3

OC=

3

2

（6-h）²，
S_最大=14

3

-36．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似綜合題．此題綜合運(yùn)用了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、以及三角形外角定理，難度較大．對(duì)于第（3）題這類有關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需要分類討論，以防漏解．