Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā)．以每秒1個單位的速度運(yùn)動．其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動．過點(diǎn)M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點(diǎn)運(yùn)動了x秒．

（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值；

（3）設(shè)四邊形OMPC的面積為S1，四邊形ABNP的面積為S2，請你就x的取值范圍討論S1與S2的大小關(guān)系并說明理由；

（4）當(dāng)x為何值時(shí)，△NPC是一個等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,)；（2）S的最大值為，此時(shí)x=2；（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S1＜S2；當(dāng)x=2時(shí)，S1=S2；當(dāng)2＜x＜4時(shí)，S1＞S2；（4）x=，或x=，或x=．

【解析】

（1）首先根據(jù)題意得到C、M、N三點(diǎn)的坐標(biāo)值．根據(jù)三角形中三角函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)值．

（2）設(shè)△NPC的面積為S．在△NPC，根據(jù)（1）可知CN的長關(guān)于x的表達(dá)式，NC邊上的高關(guān)于x的表達(dá)式．再利用三角形面積的計(jì)算公式求得，S關(guān)于x二次函數(shù)表達(dá)式．在x的取值范圍內(nèi)求該二次函數(shù)的最大值．

（3）根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式寫出S1關(guān)于x的表達(dá)式，根據(jù)S2=S△ABC-S△PCN寫出關(guān)于x的關(guān)系式．再就0＜x＜4的取值，討論S1與S2的大小關(guān)系．

（4）首先延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．再分解就①若NP=CP；②若CP=CN；③若CN=NP三種情況討論x的取值．

（1）由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，3x)；

（2）設(shè)△NPC的面積為S，

在△NPC中，NC=4-x，NC邊上的高為x，其中，0≤x≤4，

∴S=（4-x）×x=-（x-2）2+，

∴S的最大值為，此時(shí)x=2；

（3）由圖形知，S1= (OC+MP)OM＝ (3+3x)x

S2=S△ABC-S△PCN=×4×3 (4x)×x；

當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S1＜S2；當(dāng)x=2時(shí)，S1=S2；當(dāng)2＜x＜4時(shí)，S1＞S2；

（4）延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．

①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．

②若CP=CN，則，CN=4-x，PQ=x，CP=x，4-x=x，∴x=．

③若CN=NP，則CN=4-x．∵PQ=x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2

∴（4-x）2=（4-2x）2+（x）2，∴x=．

綜上所述，x=，或x=，或x=．