Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)．
（1）如果P，Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？
（2）點(diǎn)P，Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半？若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由．
（3）點(diǎn)P，Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積最大？若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和最大的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：（1）設(shè)x秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米，用x表示出△PCQ的邊長(zhǎng)，根據(jù)面積是8可列方程求解．
（2）假設(shè)y秒時(shí)，△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半，列出方程看看解的情況，可知是否有解；
（3）得到有關(guān)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最大值即可．

解答：解：（1）設(shè)x秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米，由題意得：

1

2

（6-x）•2x=8，
x=2或x=4，
當(dāng)2秒或4秒時(shí)，面積可為8平方厘米；

（2）不存在．
理由：設(shè)y秒時(shí)，△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半，由題意得：

1

2

（6-y）•2y=

1

2

×

1

2

×6×8
y²-6y+12=0．
△=36-4×12＜0．
方程無解，所以不存在

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為z秒時(shí)，△PQC的面積為s，則
s=

1

2

（6-z）•2z=-z²+6z=-（z-3）²+9，
故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒時(shí)，最大面積為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式的求法和一元二次方程的解的情況．