Question

如圖，點A、B在雙曲線y=

4

x

（x＞0）圖象上，延長AB交x軸于點C，且

AB

BC

=

2

1

，連接OA交雙曲線y=

1

x

（x＞0）的圖象于點D，則△ABD的面積為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：過點A，點B，點D分別作OC的垂線AE，BF，DG，垂足分別為E，F(xiàn)，G，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出三角形ODG與三角形OAE的面積之比，由兩三角形相似，確定出相似比，即DG與AE之比，設y_D=DG=a，則有y_A=AE=2a，進而表示出G與OE，由三角形AEC與三角形BFC相似，且AB：BC=2：1，求出AE與BF之比，表示出B的縱坐標，得到B的橫坐標，進而表示出GF與EF，三角形ADB面積=四邊形AOFB面積-四邊形DOBF面積=三角形AOE面積+四邊形AEFB面積-三角形ODG面積-四邊形DGFB面積，求出即可．

解答：解：過點A，點B，點D分別作OC的垂線AE，BF，DG，垂足分別為E，F(xiàn)，G，
∵S_△ODG=

1

2

OG•DG=

1

2

x_D•y_D=

1

2

，S_△OAE=

1

2

OE•AE=

1

2

x_A•y_A=2，
∴S_△ODG：S_△OAE=1：4，
∵△ODG∽△OAE，
∴DG：AE=1：2，
設y_D=DG=a，則有y_A=AE=2a，
∴OG=x_D=

1

yD

=

1

a

，OE=x_A=

4

yA

=

2

a

，
∵△AEC∽△BFC，AB：BC=2：1，
∴AE：BF=3：1，即y_B=BF=

AE

3

=

2

3

a，
∴OF=x_B=

4

yB

=

12

2a

=

6

a

，
∴GF=OF-OG=

6

a

-

1

a

=

5

a

，EF=OF-OE=

6

a

-

2

a

=

4

a

，
∴S_△ABD=S_{四邊形AOFB}-S_{四邊形DOFB}
=S_△OAE+S_{四邊形AEFB}-S_△ODG-S_{四邊形DGFB}
=2+

1

2

（AE+BF）•EF-

1

2

-

1

2

（DG+BF）•GF
=2+

1

2

（2a+

2

3

a）•

4

a

-

1

2

-

1

2

（a+

2

3

a）•

5

a

=2+

16

3

-

1

2

-

25

6

=

8

3

．
故答案為：

8

3

．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義，以及四邊形與三角形面積求法，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵．