Question

已知拋物線(xiàn)C₁：y=-2x²-2x+1，拋物線(xiàn)C₂：y=2x²-2x-1，若兩拋物線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)為“同胞”拋物線(xiàn)．
（1）試判斷C₁與C₂是否為“同胞”拋物線(xiàn)；
（2）已知拋物線(xiàn)C₁：y=-

1

2

x²-x+

3

2

其頂點(diǎn)為A，拋物線(xiàn)C₂向左平移1個(gè)單位后正好與拋物線(xiàn)C₁成“同胞”拋物線(xiàn)，求拋物線(xiàn)C₂的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)（a，b）為拋物線(xiàn)C₁上的點(diǎn)，則根據(jù)二次函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到b=-2a²-2a+1，然后判斷點(diǎn)（-a，-b）是否在拋物線(xiàn)C₂上，若在，則可判斷斷C₁與C₂為“同胞”拋物線(xiàn)；
（2）先把y=-

1

2

x²-x+

3

2

配成頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，2），再寫(xiě)出點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)（1，-2），根據(jù)“同胞”拋物線(xiàn)的定義得到C₁的“同胞”拋物線(xiàn)解析式為y=

1

2

（x+1）²+2，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的平移求拋物線(xiàn)C₂的解析式．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)（a，b）為拋物線(xiàn)C₁上的點(diǎn)，則b=-2a²-2a+1，
當(dāng)x=-a時(shí)，y=2x²-2x-1=2a²+2a-1=-（-2a²-2a+1）=-b，所以點(diǎn)（-a，-b）在拋物線(xiàn)C₂上，
所以C₁與C₂為“同胞”拋物線(xiàn)；
（2）y=-

1

2

x²-x+

3

2

=-

1

2

（x+1）²+2，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，2），
點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2），
所以C₁的“同胞”拋物線(xiàn)解析式為y=

1

2

（x+1）²+2，
把拋物線(xiàn)y=

1

2

（x+1）²+2向右平移1個(gè)單位后得到拋物線(xiàn)C₂，
所以?huà)佄锞�(xiàn)C₂的解析式為y=

1

2

x²+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線(xiàn)平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線(xiàn)解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．