Question

【題目】如圖，已知已知拋物線 與x軸交于點 和點 ，與y軸交于點C，且 .

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時點E的坐標；
（3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉90°后，點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標.
（4）連AC，H是拋物線上一動點，過點H作AC的平行線交x軸于點F，是否這樣的點F，使得以A,C,H,F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，C（0，3），

將A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax2+bx+3中，

得： ，解得： ．

∴所求拋物線解析式為：y=-x2-2x+3．

（2）

解：如圖1，過點E作EF⊥x軸于點F，

設E（m，-m2-2m+3）（-3＜m＜0），

∴EF=-m2-2m+3，BF=m+3，OF=-m，

∴S四邊形BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF

= （m+3）（-m2-2m+3）+ （-m2-2m+3+3）（-a）

=- m2- m+

=- (m+ )2+ ．

∵a=- ＜0，

∴當m=- 時，S四邊形BOCE最大，且最大值為 ，

此時點E的坐標為（- ， ）．

（3）

解：設點P的坐標為（-1，n），過A1作A1N⊥對稱軸于N，設對稱軸與x軸交于點M．

①當n＞0時，∵∠NP1A1+∠MP1A=∠NA1P1+∠NP1A1=90°，

∴∠NA1P1=∠MP1A，

在△A1NP1與△P1MA中， ，

∴△A1NP1≌△P1MA（AAS），

∴A1N=P1M=n，P1N=AM=2，

∴A1（n-1，n+2），

將A1（n-1，n+2）代入y=-x2-2x+3得：n+2=-（x-1）2-2（n-1）+3，

解得：n=1，n=-2（舍去），

此時P1（-1，1）；

②當n＜0時，要使P2A=P2A2，由圖可知A2點與B點重合，

∵∠AP2A2=90°，

∴MP2=MA=2，

∴P2（-1，-2），

∴滿足條件的點P的坐標為P（-1，1）或（-1，-2）．

（4）

假設存在，設點F的坐標為（t，0），

以A，C，H，F為頂點的平行四邊形分兩種情況（如圖3）：

①當點H在x軸上方時，

∵A（1，0），C（0，3），F（t，0），

∴H（t-1，3），

∵點H在拋物線y=-x2-2x+3上，

∴3=-（t-1）2-2（t-1）+3，

解得：t1=-1，t2=1（舍去），

此時F（-1，0）；

②當點H在x軸下方時，

∵A（1，0），C（0，3），F（t，0），

∴H（t+1，-3），

∵點H在拋物線y=-x2-2x+3上，

∴-3=-1（t+1）2-2（t+1）+3，

解得：t3=-2- ，t4=-2+ ，

此時F（-2- ，0）或（-2+ ，0）．

綜上可知：存在這樣的點F，使得以A，C，H，F為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，點F的坐標為（-1，0）、（-2- ，0）或（-2+ ，0）．

【解析】（1）由點B的坐標可知OB的長，根據OC=OB，即可得出點C的坐標以及c，再根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出二次函數解析式；（2）過點E作EF⊥x軸于點F，設E（m，-m2-2m+3）（-3＜m＜0），結合B、O、C點的坐標即可得出BF、OF、OC、EF的長，利用分割圖形求面積法即可找出S四邊形BOCE關于m的函數關系式，利用配方法以及二次函數的性質即可解決最值問題；（3）設點P的坐標為（-1，n），過A1作A1N⊥對稱軸于N，設對稱軸與x軸交于點M．分n＞0和n＜0考慮：①當n＞0時，利用相等的邊角關系即可證出△A1NP1≌△P1MA（AAS），由此即可得出點A1的坐標，將其代入二次函數解析式中即可求出n值，由此即可得出點P1的坐標；②當n＜0時，結合圖形找出點A2的位置，由此即可得出點P2的坐標．綜上即可得出結論；（4）假設存在，設點F的坐標為（t，0），分點H在x軸上方和下方兩種情況考慮，根據平行四邊形的性質結合A、C、F點的坐標即可表示出點H的坐標，將其代入二次函數解析式中即可求出t值，從而得出點F的坐標．
本題考查了待定系數法求函數解析式、二次函數的性質、全等三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出函數解析式；（2）利用二次函數的性質解決最值問題；（3）分點P的縱坐標大于0和小于0兩種情況考慮；（4）分點H在x軸上方和下方考慮．本題屬于中檔題，（3）（4）難度不小，解決該題型題目時，分類討論是解題的關鍵．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和平行四邊形的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．