【題目】平面直角坐標系xOy中,橫坐標為a的點A在反比例函數(shù)y1(x>0)的圖象上,點A′與點A關(guān)于點O對稱,一次函數(shù)y2=mx+n的圖象經(jīng)過點A′.

(1)設(shè)a=2,點B(4,2)在函數(shù)y1、y2的圖象上.

①分別求函數(shù)y1、y2的表達式;

②直接寫出使y1>y2>0成立的x的范圍;

(2)如圖①,設(shè)函數(shù)y1、y2的圖象相交于點B,點B的橫坐標為3a,AA'B的面積為16,求k的值;

(3)設(shè)m=,如圖②,過點AADx軸,與函數(shù)y2的圖象相交于點D,以AD為一邊向右側(cè)作正方形ADEF,試說明函數(shù)y2的圖象與線段EF的交點P一定在函數(shù)y1的圖象上.

【答案】(1)y1=,y2=x﹣2;2<x<4;(2)k=6;(3)證明見解析.

【解析】(1)由已知代入點坐標即可;

(2)面積問題可以轉(zhuǎn)化為△AOB面積,用a、k表示面積問題可解;

(3)設(shè)出點A、A′坐標,依次表示AD、AF及點P坐標.

(1)①由已知,點B(4,2)在y1(x>0)的圖象上

∴k=8

∴y1=

∵a=2

∴點A坐標為(2,4),A′坐標為(﹣2,﹣4)

把B(4,2),A(﹣2,﹣4)代入y2=mx+n得,

,

解得,

∴y2=x﹣2;

②當y1>y2>0時,y1=圖象在y2=x﹣2圖象上方,且兩函數(shù)圖象在x軸上方,

∴由圖象得:2<x<4;

(2)分別過點A、B作AC⊥x軸于點C,BD⊥x軸于點D,連BO,

∵O為AA′中點,

S△AOB=S△AOA′=8

∵點A、B在雙曲線上

∴S△AOC=S△BOD

∴S△AOB=S四邊形ACDB=8

由已知點A、B坐標都表示為(a,)(3a,

,

解得k=6;

(3)由已知A(a,),則A′為(﹣a,﹣).

把A′代入到y(tǒng)=,得:﹣,

∴n=,

∴A′B解析式為y=﹣.

當x=a時,點D縱坐標為,

∴AD=

∵AD=AF,

∴點F和點P橫坐標為,

∴點P縱坐標為.

∴點P在y1(x>0)的圖象上.

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二次項系數(shù)

一次項系數(shù)

常數(shù)項

(2x + l)(x + 2)

2

2

(2x + 1)(3x - 2)

6

-2

(ax + b)( mx + n)

am

bn

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進價(元/只)

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40

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