Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點M是x軸上的一個動點，當(dāng)△DCM的周長最小時，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點A的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)b的方程，通過解方程求得b的值；利用配方法把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式方程，根據(jù)該解析式直接寫出頂點D的坐標(biāo)；
（2）利用點A、B、C的坐標(biāo)來求線段AB、AC、BC的長度，得到AC²+BC²=AB²，則由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；
（3）作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′，則C'（0，2）．連接C′D交x軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，CD一定，當(dāng)MC+MD的值最小時，△CDM的周長最小．利用待定系數(shù)法求得直線C′D的解析式，然后把y=0代入直線方程，求得M(

24

41

，0)．

解答：解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=

1

2

x2+bx-2上，
∴

1

2

×(-1)2+b×(-1)-2=0，
解得 b=-

3

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2-

3

2

x-2．
∵y=

1

2

x2-

3

2

x-2=

1

2

(x-

3

2

)2-

25

8

，
∴頂點D的坐標(biāo)為(

3

2

，-

25

8

)；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
當(dāng)x=0時，y=-2，
∴C（0，-2），則OC=2．
當(dāng)y=0時，

1

2

x2-

3

2

x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，則B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′，則C'（0，2）．
連接C′D交x軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，CD一定，當(dāng)MC+MD的值最小時，△CDM的周長最�。�
設(shè)直線C′D的解析式為y=ax+b（a≠0），則

b=2 3 2 a+b=- 25 8

，
解得a=-

41

12

，b=2，
∴yC′D=-

41

12

x+2．
當(dāng)y=0時，-

41

12

x+2=0，則x=

24

41

，
∴M(

24

41

，0)．

點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，拋物線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理以及軸對稱--最短路線等重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．