Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A（1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，2）．
（1）求這二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求△PBC的面積；
（3）當(dāng)函數(shù)值y＜0時(shí)，則對(duì)應(yīng)的自變量x取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+3）²+2（a≠0），然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求得a的值；
（2）由拋物線的解析式可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答；
（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)進(jìn)行填空．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，2），
∴設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+3）²+2（a≠0），
把點(diǎn)A（1，0）代入，得
a（1+3）²+2=0，
解得，a=-

1

8

，
則拋物線的解析式為：y=-

1

8

（x+3）²+2；

（2）∵二次函數(shù)y=-

1

8

（x+3）²+2的圖象與x軸交于A（1，0）、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，2），
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2×（-3）-1=-7，則B（-7，0）．
令x=0，則y=

7

8

，
∴C（0，

7

8

）．
易求直線BC的解析式為：y=

1

8

x+

7

8

．
∴當(dāng)x=-3時(shí)，y=

1

2

，
∴PD=2-

1

2

=1.5，
∴△PBC的面積=

1

2

PD•OB=

1

2

×1.5×7=5.25；

（3）根據(jù)圖示知，當(dāng)函數(shù)值y＜0時(shí)，則對(duì)應(yīng)的自變量x取值范圍是 x＜-7或x＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．