Question

如圖，?ABCD中，點E是BC邊上的一點，且DE=BC，過點A作AF⊥CD于點F，交DE于點G，連結(jié)AE、EF．
（1）若AE平分∠BAF，求證：BE=GE；
（2）若點E是BC邊上的中點，求證：∠AEF=2∠EFC．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，DE=BC，易證得∠AEB=∠AEG，又由AE平分∠BAF，可證得△ABE≌△AGE，即可證得BE=GE；
（2）延長AE，交DC的延長線于點M，易證得△ABE≌△MCE，又由AF⊥CD，可得EF是Rt△AFM的斜邊上的中線，繼而證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DE=BC，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∴∠AEB=∠AED，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠GAE，
在△ABE和△AGE中，

∠BAE=∠GAE AE=AE ∠AEB=∠AEG

，
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴BE=GE；

（2）延長AE，交DC的延長線于點M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，∠M=∠BAE，
∵點E是BC邊上的中點，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，

∠BAE=∠M ∠AEB=∠MEC BE=CE

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AE=ME，
∵AF⊥CD，
∴EF=AE=EM=

1

2

AM，
∴∠M=∠EFC，
∴∠AEF=∠BAE+∠EFC=2∠EFC．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．