Question

如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+8分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙O的半徑為2

5

個(gè)單位長度．點(diǎn)P為直線y=-x+8上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，且PC⊥PD．
（1）試說明四邊形OCPD的形狀（要有證明過程）；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖乙，若直線y=-x+b將⊙O的圓周分成兩段弧長之比為1：3，請(qǐng)直接寫出b的值；
（4）向右移動(dòng)⊙O（圓心O始終保持在x軸上），試求出當(dāng)⊙O與直線y=-x+8有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用切線的性質(zhì)和切線長定理可判定出四邊形OCPD為正方形；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x+8），在Rt△OCP中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，求解即可；
（3）設(shè)直線y=-x+b與圓交與點(diǎn)E，F(xiàn)，由條件可知∠EOF為90°，可求出OE=OF，進(jìn)一步可求得b的值；
（4）設(shè)向右移動(dòng)⊙O到O′時(shí)，⊙O與直線y=-x+8相切，切點(diǎn)為D，根據(jù)相切時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)即可求得⊙O與直線y=-x+8相交時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

解答：解：（1）四邊形OCPD是正方形．證明過程如下：
如圖甲，連接OC、OD，
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，
∴∠PCO=∠PDO=90°．
又∵PC⊥PD，
∴四邊形OCPD是矩形，
又∵OC=OD，
∴四邊形OCPD是正方形；

（2）如圖甲，過P作x軸的垂線，垂足為F，連接OP．
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=

1

2

∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=2

5

，OP=2

10

，
∵P在直線y=-x+8上，設(shè)P（m，-m+8），則OF=m，PF=-m+8，
∵∠PFO=90°，OF²+PF²=PO²，
∴m²+（-m+8）²=（2

10

）²，
解得m=2或6，
∴P的坐標(biāo)為（2，6）或（6，2）；

（3）設(shè)直線y=-x+b與圓交與點(diǎn)E，F(xiàn)，
若直線y=-x+b將⊙O的圓周分成兩段弧長之比為1：3，
則∠EOF=90°，
∴OE=OF=|b|，
∴|b|=2

5

，
解得b=±2

5

；

（4）設(shè)向右移動(dòng)⊙O到O′時(shí)，⊙O′與直線y=-x+8相切，切點(diǎn)為D，如圖3，

∴O′D⊥AB，
由直線y=-x+8可知A（8，0），B（0，-8），
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴△O′AD是等腰直角三角形，
∴O′D=AD=2

5

，
∴O′A=2

10

，
∴OO′=8-2

10

或8+2

10

，
∴當(dāng)⊙O與直線y=-x+8相交時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍為：8-2

10

≤m≤8+2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線的性質(zhì)及直線和圓的位置關(guān)系、正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，掌握切線的性質(zhì)及特殊四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意相切時(shí)，有圓在直線的左側(cè)和右側(cè)兩種情況．