Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E、F分別為OB、OC的中點(diǎn)．
（1）求證：∠ACB=∠DBC；
（2）若2AD=BC．求證：四邊形AEFD為矩形．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,矩形的判定,梯形

專(zhuān)題：

分析：（1）要證：∠ACB=∠DBC由等腰梯形的判定定理知，由題意知AB=CD，所以∠ABC=∠DCB，又OB=OC，所以∠OBC=∠OCB即可得證．
（2）要證四邊形AEFD為矩形，只需證其對(duì)角線相等且相互平分，然后利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行證明．

解答：證明：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ACB=∠DBC；
（2）∵E、F分別為OB、OC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∵AD=

1

2

BC，AD∥BC，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴OF=OA，EO=DO，
又OA=OD，
∴OF=OA=EO=DO，
∴四邊形AEFD為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題將等腰梯形問(wèn)題與矩形相結(jié)合，在考核學(xué)生梯形知識(shí)的同時(shí)又考查了矩形有關(guān)性質(zhì)，學(xué)生在證明四邊形為等腰梯形時(shí)，常直接找所需條件：同一底上的兩底角相等或兩條腰相等，而常忽略-關(guān)鍵要素：已經(jīng)證明該四邊形為梯形了嗎，故需同學(xué)們多加注意．