Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

•

1

2×3

=

1

2

-

1

3

•

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加，得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

 

．
（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2014×2015

=

 

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)題意得出拆項(xiàng)規(guī)律，寫出即可；
（2）利用拆項(xiàng)法把各式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）①原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

；
②原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案為：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）①

2014

2015

；②

n

n+1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．