Question

【題目】已知，如圖1，在中，，，，若為的中點，交與點.

（1）求的長.

（2）如圖2，點為射線上一動點，連接，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)交直線與點.

①若時，求的長：

②如圖3，連接交直線與點，當為等腰三角形時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，； ②，.

【解析】

（1）先利用相似三角形性質(zhì)求得∽，并利用相似比即可求的長；

（2）①由題意分點在線段上，點在射線上，利用相似三角形性質(zhì)進行分析求值；

②利用三角函數(shù)以及等腰三角形性質(zhì)綜合進行分析討論.

解：（1）∵，，

∴∽

∴

∵，

∴

∴

（2）①（）點在線段上

∵，

∴為的中點

∵為的中點

∴

∵，

∴

∴是的中位線

∴

（）點在射線上

∵為的中點，

∴

由（1）可得∽

∴，

∴

∵，

∴

∴∽

∴

∴

綜上所述：的長為，

②由上問可得，∽

∴

∵

∴

∵，

∴

∴∽

為等腰三角形，則為等腰三角形.

（）時

在延長線上，不符合題意，舍去

（）

（），

則點與點重合

綜上所述：的長為，