Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸相交于點A（4，0），與y軸相交于點B（0，4），動點C是從點A出發(fā)，向O點運動，到達0點時停止運動，過點C作EC⊥x軸，交直線AB于點D，交拋物線于點E．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）連接OE交AB于F點，連接AE，在動點C的運動過程中，若△AOF的面積是△AEF面積的2倍，求點C的坐標？
（3）在動點C的運動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請直接寫出點F的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知點A（4，0），B（0，4），根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AB的表達式，設(shè)點C坐標為（m，0）（m＞0），則D（m，4-m），E（m，-m²+3m+4），根據(jù)當2S_△AEF=S_△AOF時，同高不同底，可得2EF=OF，再根據(jù)平行線分線段成比例可得DE=2，依此可得關(guān)于m的方程，求得m的值，從而得到點C的坐標；
（3）分DF=EF，DE=DF兩種情況討論可得△DEF為等腰三角形時點F的坐標．

解答：解：（1）∵點A（4，0），B（0，4）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴

-16+4b+c=0 c=4

，
解得：b=3，c=4，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+3x+4．  

（2）設(shè)直線AB的表達式為：y=kx+b（k≠0）
∵過點A（4，0），B（0，4）
∴解析式y(tǒng)=-x+4
設(shè)點C坐標為（m，0）（m＞0），則D（m，4-m），E（m，-m²+3m+4）
∴DE=-m²+4m
∵直線AB將△AOE的面積分為1：2兩部分
當2S_△AEF=S_△AOF時，同高不同底，
∴2EF=OF
∵DE∥OB
∴OB：DE=OF：EF
∴DE=2
∴-m²+4m=2
∴m₁=2+

2

m₂=2-

2

∴C坐標為（2+

2

，0）或（2-

2

，0）．

（3）點F坐標為（2，2）或（2

2

，4-2

2

）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法可求直線AB的表達式，三角形的面積，平行線分線段成比例，方程思想，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．