Question

【題目】已知拋物線l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點為M，與y軸的交點為N，我們稱以N為頂點，對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線．

（1）如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是 ， 衍生直線的解析式是；
（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求這條拋物線的解析式；
（3）如圖，設(shè)（1）中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為M，與y軸交點為N，將它的衍生直線MN先繞點N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個單位得直線n，P是直線n上的動點，是否存在點P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣x2﹣3；y=﹣x﹣3
（2）

解：∵衍生拋物線和衍生直線兩交點分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點，

∴將y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1聯(lián)立，得 ，

解得 或 ，

∵衍生拋物線y=﹣2x2+1的頂點為（0，1），

∴原拋物線的頂點為（1，﹣1）．

設(shè)原拋物線為y=a（x﹣1）2﹣1，

∵y=a（x﹣1）2﹣1過（0，1），

∴1=a（0﹣1）2﹣1，

解得 a=2，

∴原拋物線為y=2x2﹣4x+1．

（3）

解：∵N（0，﹣3），

∴MN繞點N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行后，解析式為y=﹣3，

∴再沿y軸向上平移1個單位得的直線n解析式為y=﹣2．

設(shè)點P坐標(biāo)為（x，﹣2），

∵O（0，0），M（1，﹣4），

∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，

OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，

MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．

①當(dāng)OM2=OP2+MP2時，有17=x2+4+x2﹣2x+5，

解得x= 或x= ，即P（ ，﹣2）或P（ ，﹣2）．

②當(dāng)OP2=OM2+MP2時，有x2+4=17+x2﹣2x+5，

解得 x=9，即P（9，﹣2）．

③當(dāng)MP2=OP2+OM2時，有x2﹣2x+5=x2+4+17，

解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．

綜上所述，當(dāng)P為（ ，﹣2）或（ ，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）時，△POM為直角三角形．

【解析】解：（1）∵拋物線y=x2﹣2x﹣3過（0，﹣3），
∴設(shè)其衍生拋物線為y=ax2﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴衍生拋物線為y=ax2﹣3過拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點（1，﹣4），
∴﹣4=a1﹣3，
解得 a=﹣1，
∴衍生拋物線為y=﹣x2﹣3．
設(shè)衍生直線為y=kx+b，
∵y=kx+b過（0，﹣3），（1，﹣4），
∴ ，
∴ ，
∴衍生直線為y=﹣x﹣3．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�