Question

【題目】如圖 1，在五邊形 ABCDE 中，∠E=90°，BC=DE.連接 AC，AD， 且 AB=AD，AC⊥BC.

（1）求證：AC=AE；

（2）如圖 2，若∠ABC=∠CAD，AF 為 BE 邊上的中線，求證：AF⊥CD；

（3）如圖 3，在（2）的條件下，AE=6，DE=4，則五邊形 ABCDE 的面積為_____.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）42

【解析】

(1)由已知可得Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），可得結論；

（2）延長 AF，BC 交于點 G，連接CG，可得∠G=∠EAG，可證明得：△AEF≌△GBF（AAS），可得AE=BG，∠ABG=∠CAD，可證明得△ABG≌△DAC（SAS），∠G=∠ACD，可得結論；

(3) 在（2）的條件下，AE=6，DE=4，則五邊形 ABCDE 的面積為42.

（1）∵AC⊥BC，，

∴∠ACB=90°=∠E． 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中，

AB AD，BC DE，

∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），

∴AC=AE.

（2）延長 AF，BC 交于點 G，

∵∠ABC=∠CAD，∠BAC=∠DAE，

∴∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°=∠ACB，，

∴BG∥AE，

∴∠G=∠EAG，

在△AEF 和△GBF 中，

AFE GFB，EAF G，EF BF，

∴△AEF≌△GBF（AAS），

∴AE=BG，

∵AC= AE，

∴BG=AC．

∵∠2=∠3，

又∠ABG=∠1+∠2，

∠CAD=∠BAD+∠CAE-∠BAE，，

=180-∠BAE=180-（180-∠1-∠3）=∠1+∠3，

∴∠ABG=∠CAD，

在△ABG 和△DAC 中，

AB AD，ABG DAC，BG AC，

∴△ABG≌△DAC（SAS），

∴∠G=∠ACD，

∵∠ACG=∠ACB= 90° 即：∠ACD+∠GCD=90°，

∴∠G+∠GCD=90°，

∴AF⊥CD；

（3）在（2）的條件下，AE=6，DE=4，則五邊形 ABCDE 的面積為42 .