Question

在一個風箏ABCD中，AB=AD，BC=DC
①分別在AB、AD的中點E、F處拉兩根彩線EC、FC，證明：這兩根彩線的長度相等；
②如果AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD，那么彩線的長度相等嗎？
如果AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD呢？由此你能得到什么結論？
③除了①②的條件外，你還能在哪些已知條件下得到兩根彩線的長度相等的結論？

Answer 1

考點：全等三角形的應用

專題：

分析：①連接AC，先利用SSS證明△ABC≌△ADC，根據全等三角形的對應角相等得出∠1=∠2，再利用SAS證明△EAC≌△FAC，即可得到EC=FC；
②當AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD時，彩線的長度相等；當AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD時，彩線的長度相等；同上證明△ABC≌△ADC，△EAC≌△FAC，即可得到EC=FC；由此可得結論：當AE=

1

n

AB，AF=

1

n

AD時，這兩根彩線的長相等．
③根據①②中所求，進而得出答案．

解答：①證明：如圖，連結AC．
在△ABC與△ADC中，

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
∵E、F分別是AB、AD的中點，
∴AE=

1

2

AB，AF=

1

2

AD，
∵AB=AD，
∴AE=AF．
在△AEC與△AFC中，

AE=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC，
∴這兩根彩線的長相等；

②解：當AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD時，彩線的長度相等，理由如下：
連接AC，
在△ABC與△ADC中，

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
∵AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD，
∴AE=AF．
在△AEC與△AFC中，

AE=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC，
∴這兩根彩線的長相等．
當AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD時，彩線的長度相等，理由如下：
連接AC，
在△ABC與△ADC中，

AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2．
∵AE=

1

4

AB，AF=

1

4

AD，
∴AE=AF．
在△AEC與△AFC中，

AE=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC，
∴這兩根彩線的長相等．
由此可得結論：當AE=

1

n

AB，AF=

1

n

AD時，這兩根彩線的長相等．

③解：當BE=DF時，兩根彩線的長相等．

點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質及學生對規(guī)律的探索能力，難度適中．本題通過作出輔助線，構造三角形全等的條件，判定三角形全等，從而利用三角形全等的性質得到邊相等．