Question

【題目】如圖，⊙O是正△ABC的外接圓，點(diǎn)D為圓上一點(diǎn)，連接AD，分別過點(diǎn)B和點(diǎn)C作AD延長線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接BD、CD，已知EB=3，FC=2，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①∠CDF=60°；②△EDB∽△FDC；③BC=；④，其中正確的結(jié)論有（　　）個(gè)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)一一判斷即可．

解：∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，

∴∠CDF=∠ABC=60°，故①正確．

∵∠BDE=∠ACB=60°，

∴∠BDE=∠CDF=60°，

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠E=∠F=90°，

∴△EDB∽△FDC，故②正確．

∵BE=DE=3，CF=DF=2，

∴DE=，DF=，

∴EF=DE+DF=． 過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G．

∴四邊形EGCF是矩形，

∴EG=FC=2，CG=EF=，

∴BG=BE-EG=1．

在Rt△BGC中，由勾股定理可得：BC=，故③錯(cuò)誤．

在Rt△AEB中，由勾股定理可得：AE=，

∴AD=DE-AE=，

∴AD：DE=2：3．

∴S△ADB=S△EDB，故④錯(cuò)誤．

故選：B．