Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足點(diǎn)為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取到最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′，求出P′的坐標(biāo)，并判斷P′是否在該拋物線上．

 

 

Answer 1

（1），（﹣1，4）；（2）（﹣3＜x＜﹣1），；（3）（，），點(diǎn)P′不在該拋物線上．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，可設(shè)交點(diǎn)式，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a，b，c，進(jìn)而得解析式，化為項(xiàng)點(diǎn)式可求頂點(diǎn)D．

（2）由P在AD上，則可求AD解析式表示P點(diǎn)．由，所以S可表示，進(jìn)而由函數(shù)最值性質(zhì)易得S最值．

（3）由最值時(shí)，P（，3），則E與C重合．畫示意圖，P'過(guò)作P'M⊥y軸，設(shè)邊長(zhǎng)通過(guò)解直角三角形可求各邊長(zhǎng)度，進(jìn)而得P'坐標(biāo)．判斷P′是否在該拋物線上，將xP'坐標(biāo)代入解析式，判斷是否為yP'即可．

試題解析：【解析】
（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線解析式為．

∵點(diǎn)C（0，3）在拋物線，∴，解得．

∴拋物線的函數(shù)解析式為：，即．

∵

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（﹣1，4）．

（2）設(shè)直線AD為解析式為，

∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴ ，解得．

∴直線AD解析式：y=2x+6．

∵P在AD上，∴P（x，2x+6），

∴（﹣3＜x＜﹣1）．

∵，

當(dāng)時(shí)，S取最大值．

（3）如圖，設(shè)P′F與y軸交于點(diǎn)N，過(guò)P′作P′M⊥y軸于點(diǎn)M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=．

∵PF∥y軸，∴∠PFE=∠FEN．

∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE．

∴EN=FN．

設(shè)EN=m，則FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，∵，∴m=．

∵，

∴，解得．

在Rt△EMP′中，∵，∴OM=EO﹣EM=．

∴P′（，）．

∵當(dāng)x=時(shí)，，

∴點(diǎn)P′不在該拋物線上．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．折疊問(wèn)題；3．待定系數(shù)法的應(yīng)用；3．曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4．二次函數(shù)的性質(zhì)；5．由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式；6．折疊對(duì)稱的性質(zhì)；7．勾股定理．