Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對于已知的△ABC，點(diǎn)P在邊BC的垂直平分線上，若以P點(diǎn)為圓心，PB為半徑的⊙P與△ABC三條邊的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)之和大于等于3，則稱點(diǎn)P為△ABC關(guān)于邊BC的“穩(wěn)定點(diǎn)”．如圖為△ABC關(guān)于邊BC的一個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”P的示意圖，已知A(m，0)，B(0，n)．

(1) 如圖1，當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)中，△AOB關(guān)于邊OA的“穩(wěn)定點(diǎn)”是________．

(2) 如圖2，當(dāng)n=4時(shí)，若直線y=6上存在△AOB關(guān)于邊AB的“穩(wěn)定點(diǎn)”，則m的取值范圍是___________

(3)如圖3，當(dāng)m=3，時(shí)，過點(diǎn)M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關(guān)于邊AB的“穩(wěn)定點(diǎn)”，則k的取值范圍是__________________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＞或m＜-；（3）若1≤n＜時(shí)，＜k≤；若時(shí)，；若＜n≤3時(shí)，≤k＜時(shí)，若3＜n＜時(shí)，≤k＜；若n=時(shí)，≤k；若＜n≤6時(shí)，k＜或k≥．

【解析】

（1）分兩種情況：①當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，②當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到結(jié)論；

（2）分兩種情況：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸時(shí)，以線段AB的中垂線與直線y=6的交點(diǎn)P為圓心，以PB的長為半徑作⊙P，求出A的坐標(biāo)，②如圖4，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸時(shí)，以線段AB的中垂線與直線y=6的交點(diǎn)P為圓心，以PB的長為半徑作⊙P，求出A的坐標(biāo)，進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（3）分6種情況：①如圖5，若線段AB的中垂線過點(diǎn)M時(shí)，即時(shí)，②若1≤n＜時(shí)，如圖6，③若＜n≤3時(shí)，④若3＜n＜時(shí)，⑤若n=時(shí)，⑥若＜n≤6時(shí)，分別求出k的求值范圍，即可．

（1）①當(dāng)⊙P過點(diǎn)B時(shí)，如圖1，則OP=AP=BP，即：點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，此時(shí)，P(，1)，

②當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，如圖2，切點(diǎn)為點(diǎn)A，則∠PAB=90°，

∵OA=，OB=2，∠AOB=90°，

∴∠BAO=30°，

∴∠OAP=60°，

∴DP=AD=×=3，

∴此時(shí)，P(，-3)

綜上所述，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y，當(dāng)-3＜y≤1時(shí)，點(diǎn)P是△AOB關(guān)于邊OA的“穩(wěn)定點(diǎn)”，即：是△AOB關(guān)于邊OA的“穩(wěn)定點(diǎn)”．

故答案是：；

（2）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸時(shí)，以線段AB的中垂線與直線y=6的交點(diǎn)P為圓心，以PB的長為半徑作⊙P，

當(dāng)n=4時(shí)，且⊙P與x軸相切，切點(diǎn)為點(diǎn)A，則∠PAO=90°，四邊形PAOD是矩形，PA=OD=6，

∴PB=PA=6，BD=OD-OB=6-4=2，

∴PD==，

∴此時(shí)，A(，0)，

∴當(dāng)m＞時(shí)，直線y=6上存在△AOB關(guān)于邊AB的“穩(wěn)定點(diǎn)”；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸時(shí)，以線段AB的中垂線與直線y=6的交點(diǎn)P為圓心，以PB的長為半徑作⊙P，此時(shí)，A(-，0)，

∴當(dāng)m＜-時(shí)，直線y=6上存在△AOB關(guān)于邊AB的“穩(wěn)定點(diǎn)”，

綜上所述，m的取值范圍是：m＞或m＜-．

故答案是：m＞或m＜-；

（3）①如圖5，若線段AB的中垂線過點(diǎn)M時(shí)，即過點(diǎn)M(5，7)的直線y=kx+b與線段AB的中垂線重合，此時(shí)，符合條件．

把M(5，7)和AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(,)代入y=kx+b，得，解得：，

設(shè)直線AB的解析式為：y=ax+c，則，解得：，

∴()()=-1，解得： ，（舍去），

∴；

②若1≤n＜時(shí)，如圖6，當(dāng)⊙P過點(diǎn)O時(shí)，P(,)，此時(shí)，，

如圖7，當(dāng)⊙P與x軸相切，切點(diǎn)為點(diǎn)A，設(shè)OD=x，則AD=BD=3-x，

由勾股定理得： ，解得：，

∴AD=3-x=3-=，

∵∠APD+∠ADP=∠ADP+∠BAO=90°,

∴∠APD=∠BAO，

∴tan∠APD=tan∠BAO，

∴，解得：AP=,

∴P(3，)，

∴k=，

∴＜k≤時(shí)，過點(diǎn)M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關(guān)于邊AB的“穩(wěn)定點(diǎn)”；

③若＜n≤3時(shí)，當(dāng)⊙P過點(diǎn)O時(shí)，P(,)，此時(shí)，，

當(dāng)⊙P與x軸相切，切點(diǎn)為點(diǎn)A，此時(shí)P(3，)，k=，

∴≤k＜時(shí)，過點(diǎn)M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關(guān)于邊AB的“穩(wěn)定點(diǎn)”；

④若3＜n＜時(shí)，當(dāng)⊙P過點(diǎn)O時(shí)，P(,)，此時(shí)，，

當(dāng)⊙P與y軸相切，切點(diǎn)為點(diǎn)B，此時(shí)⊙P的半徑= ，P(，n)，k=，

∴≤k＜時(shí)，過點(diǎn)M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關(guān)于邊AB的“穩(wěn)定點(diǎn)”；

⑤若n=時(shí)，則≤k時(shí)，過點(diǎn)M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關(guān)于邊AB的“穩(wěn)定點(diǎn)”；

⑥若＜n≤6時(shí)，當(dāng)⊙P過點(diǎn)O時(shí)，P(,)，此時(shí)，，

當(dāng)⊙P與y軸相切，切點(diǎn)為點(diǎn)B，此時(shí)⊙P的半徑= ，P(，n)，k=，

∴k＜或k≥時(shí)，過點(diǎn)M(5，7)的直線y=kx+b上存在△AOB關(guān)于邊AB的“穩(wěn)定點(diǎn)”；

綜上所述：若1≤n＜時(shí)，＜k≤；若時(shí)，；若＜n≤3時(shí)，≤k＜時(shí)，若3＜n＜時(shí)，≤k＜；若n=時(shí)，≤k；若＜n≤6時(shí)，k＜或k≥．

故答案是：若1≤n＜時(shí)，＜k≤；若時(shí)，；若＜n≤3時(shí)，≤k＜時(shí)，若3＜n＜時(shí)，≤k＜；若n=時(shí)，≤k；若＜n≤6時(shí)，k＜或k≥．