Question

如圖，點P坐標為（-3，5），以P為圓心的⊙P與x軸相切于點A，與y軸交于B、C兩點，連接PB、AB．
（1）求證：AB平分∠PBO；
（2）若直線CP交x軸于點D，求出點D的坐標．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接AP，根據(jù)切線的性質(zhì)定理以及圓的半徑處處相等所形成的等腰三角形PAB的性質(zhì)即可證明AB平分∠PBO；
（2）過P作PH⊥BC于H，根據(jù)P的坐標易求圓的半徑為5，利用勾股定理可求出BH=4，所以O(shè)B=1，由垂徑定理可得OC=9，易證△DAP∽△DOC，由相似三角形OD的性質(zhì)：對應邊的比值相等即可求出DA的長，進而可求出OD的長，所以D的坐標即可求出．

解答：（1）證明：連接AP，
∵⊙P與x軸相切于點A，
∴∠PA0=90°，
∴∠PAB+∠BAO=90°，
∵∠DOC=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∵PB=PA，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠PBA=∠ABO，
∴AB平分∠PBO；
（2）過P作PH⊥BC于H，
∴BH=CH，
∵點P坐標為（-3，5），
∴PA=PB=5，PH=AO=3，
∴BH=

PB2-PH2

=4，
∴OB=1，
∴CO=9，
∵PA∥OC，
∴△DAP∽△DOC，
∴

PA

OC

=

DA

DO

，
∴

5

9

=

DA

DA+3

，
解得：DA=

15

4

，
∴DO=DA+AO=3+

15

4

=

27

4

，
∴點D的坐標為（-

27

4

，0）．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)定理、圓的半徑處處相等的性質(zhì)、垂徑定理的運用、勾股定理的運用以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度中等，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．