【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知的直角頂點(diǎn),斜邊在軸上,且點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),拋物線過(guò),,三點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),
①求拋物線的解析式;
②平行于對(duì)稱軸的直線與軸,,分別交于點(diǎn),,,若以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的三角形與相似,求點(diǎn)的值.
(2)以為等腰三角形頂角頂點(diǎn),為腰構(gòu)造等腰,且點(diǎn)落在軸上.若在軸上滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)①;②的值為或0;(2)或.
【解析】
(1)①先由A、C的坐標(biāo)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),由勾股定理求出AC,通過(guò)三角函數(shù)可求出DE,即可得到E點(diǎn)坐標(biāo),然后將D、E代入即可;②分和兩種情況討論,根據(jù)三角函數(shù)求解;
(2)分兩種情況:①EG⊥AB,②以E為圓心DE為半徑作圓,交AB延長(zhǎng)線于M,過(guò)E作EH⊥AB于H, D、E、M三點(diǎn)共線時(shí).
(1)①∵點(diǎn),點(diǎn),
∴,,
在中,,
∵點(diǎn)是的中點(diǎn),
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴的坐標(biāo)為,即,
把和D代入,
得,
解得,
∴拋物線的解析式為.
②當(dāng)時(shí),可得,
解得,
∴;
當(dāng)時(shí),可得,
解得,
∴.
綜上所述,的值為或0.
(2)若在軸上滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè),則有兩種情況,
第一種情況,EG⊥AB,如圖,
∠A+∠B=90°,∠B+∠BCO=90°,∠B+∠BEG=90°,
∴∠A=∠BCO=∠BEG,
∴△AOC∽△COB,△AOC∽△COB,
∴,,
∴,即,
,即,
設(shè),則,,
在直角三角形CDE中,,
∴,
解得或(舍),
,
由,得,,
∴,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為,
第二種情況如圖,以E為圓心DE為半徑作圓,交AB延長(zhǎng)線于M,過(guò)E作EH⊥AB于H, D、E、M三點(diǎn)共線時(shí),
則E為DM的中點(diǎn),
由D可知E的縱坐標(biāo)為3,即EH=3,
由題可知△EHB∽△COB,
∴即,
∴HB=4,OH=OB-HB=16-4=12,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為,
∴答案為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)在軸上,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)和的中點(diǎn),,則點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】南海是我國(guó)的南大門,如圖所示,某天我國(guó)一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域正在進(jìn)行常態(tài)化巡航,在A處測(cè)得北偏東30°方向上,距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行,便迅速沿北偏東75°的方向前往監(jiān)視巡查,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,在C處成功攔截不明船只,問(wèn)我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過(guò)程中行駛了多少海里(最后結(jié)果保留整數(shù))?
(參考數(shù)據(jù):cos75°=0.2588,sin75°=0.9659,tan75°=3.732, =1.732, =1.414)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,點(diǎn)E為的中點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N,延長(zhǎng)交于點(diǎn)M.
(1)求證:
(2)連接CF,并延長(zhǎng)CF交AB于G
①若,求的長(zhǎng)度;
②探究當(dāng)為何值時(shí),點(diǎn)G恰好為AB的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知y關(guān)于x的二次函數(shù)y=x-bx+b+b-5的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).
(1)求b的取值范圍;
(2)若b取滿足條件的最大整數(shù)值,當(dāng)m≤x≤時(shí),函數(shù)y的取值范圍是n≤y≤6-2m,求m,n的值;
(3)若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下,對(duì)應(yīng)函數(shù)y的最小值為,求此時(shí)二次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們知道:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角,一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半.類似地,我們定義:頂點(diǎn)在圓外,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓外角.
(1)判斷:圖中有沒(méi)有圓外角?如果有,請(qǐng)用字母表示出來(lái).
(2)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),探究:圓外角的度數(shù)與它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)有什么關(guān)系?將你的發(fā)現(xiàn),用文字表述出來(lái),并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.
小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,通過(guò)證明△AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.
【類比引申】
(1)如圖2,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長(zhǎng)線上,∠EAF=45°,連接EF,請(qǐng)根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫(xiě)出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
【聯(lián)想拓展】
(2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年 3 月 12 日植樹(shù)節(jié)期間, 學(xué)校預(yù)購(gòu)進(jìn) A、B 兩種樹(shù)苗,若購(gòu)進(jìn) A種樹(shù)苗 3 棵,B 種樹(shù)苗 5 棵,需 2100 元,若購(gòu)進(jìn) A 種樹(shù)苗 4 棵,B 種樹(shù)苗 10棵,需 3800 元.
(1)求購(gòu)進(jìn) A、B 兩種樹(shù)苗的單價(jià);
(2)若該單位準(zhǔn)備用不多于 8000 元的錢購(gòu)進(jìn)這兩種樹(shù)苗共 30 棵,求 A 種樹(shù)苗至少需購(gòu)進(jìn)多少棵?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[問(wèn)題]小明在學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:求不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集.
他經(jīng)歷了如下思考過(guò)程:
[回顧]
(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2=交于A (1,3)和B(﹣3,﹣1),則不等式ax+b>的解集是 .
[探究]將不等式x3+3x2﹣x﹣3>0按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化:
當(dāng)x=0時(shí),原不等式不成立;
當(dāng)x>0時(shí),不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1>;
當(dāng)x<0時(shí),不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1<.
(2)構(gòu)造函數(shù),畫(huà)出圖象:
設(shè)y3=x2+3x﹣1,y4=,在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象;
雙曲線y4=如圖2所示,請(qǐng)?jiān)诖俗鴺?biāo)系中畫(huà)出拋物線y=x2+3x﹣1.(不用列表)
(3)確定兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo):
觀察所畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象,猜想并通過(guò)代入函數(shù)解析式驗(yàn)證可知:滿足y3=y4的所有x的值為 .
[解決]
(4)借助圖象,寫(xiě)出解集:
結(jié)合“探究”中的討論,觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象可知:不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集為 .
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