Question

已知拋物線y=-

1

2

x²+2x的圖象如圖所示，點(diǎn)N為拋物線的頂點(diǎn)，直線ON上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和Q，且滿足PQ=2

2

，在直線ON下方的拋物線上存在點(diǎn)M，使△PQM為等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：由拋物線解析式可求出直線ON的解析式，由直線ON上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和Q，且滿足PQ=2

2

，在直線ON下方的拋物線上存在點(diǎn)M，使△PQM為等腰直角三角形，分兩種情況①以PQ為斜邊時(shí)②以PQ為直角邊時(shí)，分別求解即可．

解答：解：∵拋物線y=-

1

2

x²+2x，點(diǎn)N為拋物線的頂點(diǎn)，
∴N（2，2）
∴直線ON的解析式為，y=x，
∵直線ON上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和Q，且滿足PQ=2

2

，在直線ON下方的拋物線上存在點(diǎn)M，使△PQM為等腰直角三角形，
①以PQ為斜邊時(shí)：如圖1，

設(shè)M₁（a₁，b₁）
∵PQ=2

2

，PM₁=QM₁，∠QM₁P=90°，
∴a₁-2=b₁，
把M₁（a₁，a₁-2）代入y=-

1

2

x²+2x，解得a₁=1+

5

，a₂=1-

5

，
∴M₁（1+

5

，-1+

5

），M₂（1-

5

，-1-

5

）．
②以PQ為直角邊時(shí)，如圖2，

設(shè)M（a，b），
∵PQ=2

2

，
∴PM=4，PQ=QM₄，∠PQM=90°，
∴a-4=b，
把M（a，a-4）代入y=-

1

2

x²+2x，解得a=4或-2，
∴M（-2，-6），或（4，0）．
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1+

5

，-1+

5

），（1-

5

，-1-

5

），（-2，-6），或（1-

5

，-1-

5

）．
．故答案為：（1+

5

，-1+

5

），（1-

5

，-1-

5

），（-2，-6）或（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)求解．