Question

【題目】如圖，將邊長(zhǎng)為6的正三角形紙片ABC按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展平后，得折痕AD，BE（如圖①），點(diǎn)O為其交點(diǎn)．

（1）探求AO到OD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖②，若P，N分別為BE，BC上的動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；

（Ⅱ）如圖③，若點(diǎn)Q在線段BO上，BQ=1，則QN+NP+PD的最小值= ．

Answer 1

【答案】（1）AO=2OD；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）如圖②，作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時(shí)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值，根據(jù)線段垂直平分線的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN=BD=，于是得到結(jié)論；

（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，作D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據(jù)軸對(duì)稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結(jié)論．

試題解析：解：（1）AO=2OD．理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；

（2）如圖②，作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時(shí)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值．∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等邊三角形，∴BN=BD=．∵∠PBN=30°，∴，∴PB=；

（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，作D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，∴∠D′BQ′=90°，∴在Rt△D′BQ′中，D′Q′==，∴QN+NP+PD的最小值=．故答案為：．