Question

【題目】如圖，已知等邊三角形中，點(diǎn)，，分別為各邊中點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為等邊三角形（點(diǎn)的位置改變時(shí)，也隨之整體移動(dòng)）.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，請(qǐng)判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由.（提示：連接、、.可證、、、均為等邊三角形）.

Answer 1

【答案】（1），（2）成立證明見解析；（3）結(jié)論仍成立.

【解析】

（1）連接DE，DF，得出△DFE是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，再利用SAS證明△MDF和△EDN全等，由此可得出EN=MF．
（2）（3）證法同（1）都要證明△MDF和△EDN全等，證明過程中都要作出三角形的三條中位線，然后根據(jù)三條中位線分成的小等邊三角形的邊和角相等來得出兩三角形全等的條件，因此結(jié)論仍然成立．

解：（1）EN=MF.理由如下：連接DE,DF,

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三邊的中點(diǎn)，∴EF=DF=BF.

∴∠DEF=∠DFM=60°，

又△MDN為等邊三角形，∴∠MDN=60°，

∠MDN+∠NDF=∠FDE+∠NDF,

∴∠MDF=∠NDE,

在△EDN和△MDF中，

∴△EDN≌△MDF（SAS）,

∴EN=MF.

（2）如圖②，EN=MF仍然成立.證明如下：連接DF，NF，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三邊的中點(diǎn)，∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN，
在△DBM和△DFN中，

∴△DBM≌△DFN，
∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，
∴NF∥BD，
∵E，F分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BD，
∴F在直線NE上，
∵BF=EF，
∴MF=EN．
（3）如圖③，MF=NE的結(jié)論仍然成立．
連接DF、DE，

由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，
在△DNE和△DMF中，

∴△DNE≌△DMF，
∴MF=NE．