Question

【題目】勾股定理是一個基本的幾何定理，早在我國西漢吋期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”；這三個整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股數(shù)．

（1）小李在研究勾股數(shù)時發(fā)現(xiàn)，某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫成兩個整數(shù)的平方和，有一條直角邊能寫成這兩個整數(shù)的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；請證明：m，n為正整數(shù)，且m＞n，若有一個直角三角形斜邊長為m2+n2，有一條直角長為m2﹣n2，則該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；

（2）有一個直角三角形兩直角邊長分別為和，斜邊長4，且a和b均為正整數(shù)，用含b的代數(shù)式表示a，并求出a和b的值；

（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均為正整數(shù)．證明：存在一個整數(shù)直角三角形，其斜邊長為c1c2．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），a＝31，b＝4；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理：利用（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，解得另一條直角邊長為2mn，因為m，n為正整數(shù)，所以2mn也為正整數(shù)，即可得證；

（2）首先根據(jù)勾股定理求出關(guān)于的代數(shù)式，再根據(jù)被開方數(shù)需大于等于0，即可求得、的范圍，且、均為正整數(shù)，將b的可能值：1，2，3，4分別代入，即可求得符合條件的正整數(shù)、；

（3）觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時，c1c2＝5×5＝25，而，故存在．

（1）證明：

∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，

＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2），

＝2m22n2，

＝（2mn）2，

∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，

∵m，n為正整數(shù)，且m＞n，

∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均為正整數(shù)，

∴該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；

（2）由勾股定理得：

7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，

∴，

由題意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0，

∴a＞1，0＜b＜5，

∵a和b均為正整數(shù)，

∴b的可能值為：1，2，3，4，

當(dāng)b＝1時， ，不是正整數(shù)，故b＝1不符合題意；

當(dāng)b＝2時，，不是正整數(shù)，故b＝2不符合題意；

當(dāng)b＝3時，，不是正整數(shù)，故b＝3不符合題意；

當(dāng)b＝4時，，是正整數(shù)，此時，

∵，，

∴，

∴b＝4符合題意，

∴；a＝31，b＝4；

（3）證明：觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時，c1c2＝5×5＝25，

152+202＝225+400＝625，252＝625，

∴152+202＝252．

∴存在一個整數(shù)直角三角形，其斜邊長為c1c2．