Question

【題目】如圖①，拋物線y＝x2﹣x﹣3交軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)P是拋物線上位于直線AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)E，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)F，當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)P出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿P→E→F的路徑運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再沿線段FB以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用的時(shí)間最少？

（2）如圖②，在（1）問(wèn)的條件下，將拋物線沿直線PB進(jìn)行平移，點(diǎn)P、B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)P'、B'，請(qǐng)問(wèn)在y軸上是否存在一動(dòng)點(diǎn)Q，使得△P'QB'為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)為F（，0）時(shí)，t最小；（2）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（0，﹣）或（0，﹣）或（0，）或（0，﹣）

【解析】

（1）由題可求出點(diǎn)A、B、C、D，的坐標(biāo)，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式可得：直線AD的表達(dá)式，過(guò)點(diǎn)作y軸的平行線交AD于點(diǎn)S，設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣x﹣3），點(diǎn)S（x，﹣x﹣），可得S△PAD＝SP×（xD﹣xA）＝2（﹣x﹣﹣x2+x+3），由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)B作與x軸負(fù)方向夾角為30°的直線BH，過(guò)點(diǎn)P′作PH⊥BH交于點(diǎn)H，P′H于y軸、x軸分別交于點(diǎn)E、F，則此時(shí)t最小，然后求出直線BH的表達(dá)式和直線P′H的表達(dá)式聯(lián)立求解，從而可得答案；

（2）先求出直線PB的表達(dá)式，設(shè)：點(diǎn)P′、B′的坐標(biāo)分別為：（m，m﹣6），（m+3，m﹣），分：①當(dāng)∠B′QP′為直角時(shí)，②當(dāng)∠QB′P′為直角時(shí)，③當(dāng)∠QP′B′為直角時(shí)，三種情況討論即可．

（1）y＝x2﹣x﹣3，令y＝0，則x＝4或﹣，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣，0）、（4，0），

點(diǎn)C（0，﹣3）、點(diǎn)D（3，﹣3），

將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：

直線AD的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣，

過(guò)點(diǎn)作y軸的平行線交AD于點(diǎn)S，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣x﹣3），點(diǎn)S（x，﹣x﹣）

S△PAD＝SP×（xD﹣xA）＝2（﹣x﹣﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+，

∵﹣＜0，

∴S△PAD有最大值，當(dāng)x＝﹣＝時(shí)，函數(shù)取得最大值，

此時(shí)點(diǎn)P（，﹣）；

作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（﹣，﹣），

過(guò)點(diǎn)B作與x軸負(fù)方向夾角為30°的直線BH，

過(guò)點(diǎn)P′作PH⊥BH交于點(diǎn)H，P′H于y軸、x軸分別交于點(diǎn)E、F，則此時(shí)t最小，

∵直線BH與x軸負(fù)方向夾角為30°，則FH＝BF，

t＝PE+EF+FB＝P′E+EF+FH＝P′H，

設(shè)：直線BH的表達(dá)式為：y＝﹣x+s，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線BH的表達(dá)式為：y＝﹣x+4…①，

同理可得直線P′H的表達(dá)式為：y＝x+3﹣…②，

則點(diǎn)F（﹣，0），

則直線P′H的傾斜角為60°，

聯(lián)立①②并解得：x＝，y＝，

即點(diǎn)H（，）

t＝P′H＝2（xH﹣xP′）＝；

故點(diǎn)為F（，0）時(shí)，t最小（）；

（2）存在，理由：

同理可得直線PB的表達(dá)式為：y＝x﹣6，

則tan∠GB′P′＝＝tanα，則cosα＝，sinα＝，

P′B′＝PB＝，則點(diǎn)B′在點(diǎn)P′右側(cè)的距離為：PBcos∠α＝3，

同理點(diǎn)B′在點(diǎn)P′上方的距離為：，

則設(shè)：點(diǎn)P′、B′的坐標(biāo)分別為：（m，m﹣6），（m+3，m﹣），

①當(dāng)∠B′QP′為直角時(shí)，如圖（左側(cè)圖），

過(guò)點(diǎn)B′作B′G⊥y軸于點(diǎn)G，

∵∠B′QG+∠P′OH＝90°，∠B′QG+∠GB′Q＝90°，∴∠GB′Q＝∠P′OH，

∠B′GQ＝∠QHP′＝90°，QP′＝QB′，

∴△B′GQ≌△QHP′（AAS），則B′G＝OH，GQ＝P′H，

即：m﹣﹣n＝m，m+3＝n﹣m+6，

解得：m＝，n＝﹣；

同理當(dāng)直線向下平移時(shí)：n＝﹣；

②當(dāng)∠QB′P′為直角時(shí)，

同理可得：m+3﹣m＝n﹣m+，m﹣﹣m+6＝m+3，

解得：m＝，n＝，

同理當(dāng)直線向下平移時(shí)：n＝﹣；

③當(dāng)∠QP′B′為直角時(shí)，

經(jīng)驗(yàn)證同②重復(fù)，解得n=；

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（0，﹣）或（0，﹣）或（0，）或（0，﹣）．