【題目】1955年,印度數(shù)學家卡普耶卡()研究了對四位自然數(shù)的一種變換:任給出四位數(shù),用的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù),再減去它的反序數(shù)(即將的四個數(shù)字由小到大排列,規(guī)定反序后若左邊數(shù)字有0,則將0去掉運算,比如0001,計算時按1計算),得出數(shù),然后繼續(xù)對重復上述變換,得數(shù),…,如此進行下去,卡普耶卡發(fā)現(xiàn),無論是多大的四位數(shù),只要四個數(shù)字不全相同,最多進行次上述變換,就會出現(xiàn)變換前后相同的四位數(shù),這個數(shù)稱為變換的核.則四位數(shù)9631的變換的核為______.

【答案】6174

【解析】

9631的四個數(shù)字由大到小排列成一個四位數(shù)9631.則9631-1369=8262,用8262的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)8622.則8622-2268=6354,類似地進行上述變換,可知5次變換之后,此時開始停在一個數(shù)6174上.

解:用9631的四個數(shù)字由大到小排列成一個四位數(shù)9631.則9631-1369=8262
8262的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)8622.則8622-2268=6354,
6354的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)6543.則6543-3456=3087
3087的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)8730.則8730-378=8352,
8352的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)8532.則8532-2358=6174
6174的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)7641.則7641-1467=6174…
可知7次變換之后,四位數(shù)最后都會停在一個確定的數(shù)6174上.
故答案為:6174.

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【題目】勾股定理是一個基本的幾何定理,早在我國西漢吋期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載.如果一個直角三角形三邊長都是正整數(shù),這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”;這三個整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”,如:3,45;512,137,2425;815,17;940,41等等都是勾股數(shù).

1)小李在研究勾股數(shù)時發(fā)現(xiàn),某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫成兩個整數(shù)的平方和,有一條直角邊能寫成這兩個整數(shù)的平方差.如34,5中,522+12,322125,12,13中,1332+22,53222;請證明:m,n為正整數(shù),且mn,若有一個直角三角形斜邊長為m2+n2,有一條直角長為m2n2,則該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”;

2)有一個直角三角形兩直角邊長分別為,斜邊長4,且ab均為正整數(shù),用含b的代數(shù)式表示a,并求出ab的值;

3)若c1a12+b12,c2a22+b22,其中,a1a2、b1b2均為正整數(shù).證明:存在一個整數(shù)直角三角形,其斜邊長為c1c2

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【題目】我市某校的數(shù)學學科實踐活動課上,老師布置的任務是對本校七年級學生零花錢使用情況進行隨機抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果分為“A.買零食”、“B.買學習用品”、“C.玩網(wǎng)絡游戲”、“D.捐款”四項進行統(tǒng)計,學生將統(tǒng)計結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖(圖1、圖2),請根據(jù)圖中的信息解答下列問題.

1)這次調(diào)查的學生為______人,圖2中,____________.

2)補全圖1中的條形統(tǒng)計圖.

3)在圖2的扇形統(tǒng)計圖中,表示“C.玩網(wǎng)絡游戲”所在扇形的圓心角度數(shù)為______度.

4)據(jù)統(tǒng)計,遼陽市七年級約有學生12000人,那么根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,可估計零花錢用于“D.捐款”的學生約有______人.

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【題目】請認真觀察圖形,解答下列問題:

1)根據(jù)圖中條件,用兩種方法表示兩個陰影圖形的面積的和(只需表示,不必化簡);

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(1)用含的代數(shù)式表示的長度.

(2)在運動過程中,是否存在某一時刻,使點位于線段的垂直平分線上?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

(3)是否存在某一時刻,使?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

(4)是否存在某一時刻,使?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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三角形的直角邊長/

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

陰影部分的面積/

398

392

382

368

350

302

272

200

(1)在這個變化過程中,自變量、因變量各是什么?

(2)請將上述表格補充完整;

(3)當?shù)妊苯侨切蔚闹苯沁呴L由增加到時,陰影部分的面積是怎樣變化的?

(4)設等腰直角三角形的直角邊長為,圖中陰影部分的面積為,寫出的關(guān)系式.

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