Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，BE⊥AD，交AC于M．
（1）求證：AD=BM；
（2）若∠DMB=105°，求證：AD+AM=BD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）通過ASA證得△ADC≌△BMC，則其對(duì)應(yīng)邊相等：AD=BM；
（2）利用（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等和已知條件判定∠DAC=∠MBC=30°．設(shè)CD=CM=a．則由“含30度角的直角三角形的性質(zhì)”推知AD=2a，AC=BC=

3

a，AM=

3

a-a，故AD+AM=2a+

3

a-a=a+

3

a=CD+BC=BD，即AD+AM=BD．

解答：證明：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCM=90°．
又BE⊥AD，
∠AEB=∠BCM=90°．
又∵∠AME=∠BMC（對(duì)頂角相等），
∴∠DAM=∠MBC（等角的余角相等），
在△ADC與△BMC中，

∠DAC=∠MBC AC=BC ∠ACD=∠BCM

，
∴△ADC≌△BMC（ASA），
∴AD=BM；

（2）∵由（1）知，△ADC≌△BMC，
∴∠DAC=∠MBC，CD=CM．
∴在直角△CDM中，∠CDM=∠CMD=45°．
∵∠DMB=105°，
∴∠CMB=60°，
∴∠DAC=∠MBC=30°．
設(shè)CD=CM=a．
∴AD=2CD=2a，AC=BC=

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a，
∴AM=

3

a-a，
∴AD+AM=2a+

3

a-a=a+

3

a=CD=BC=BD，即AD+AM=BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．