Question

如圖1，等邊△ABC，∠BAC的平分線交y軸于點D，C的坐標為（0，6）
（1）求D點的坐標；
（2）如圖2，E為x軸上任一點，以CE為邊在第一象限內(nèi)作等邊△CEF，F(xiàn)B的延長線交y軸于點G，求OG的長；
（3）如圖3，在（1）的條件下，M為y軸正半軸上一點，N為射線AD上一點，且∠MBN=60°，求DN-DM的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OA=OB，∠ACO=30°，∠BAC=60°，在Rt△ACO中，AO=

3

3

OC=2

3

，由于AD為∠OAC的平分線，則∠OAD=30°，
于是可計算出OD=

3

3

OA=2，則D點坐標為（0，2）；
（2）如圖2，作FG⊥BC于G，F(xiàn)H⊥x軸于H，由△EFC為等邊三角形得到FC=FE，∠FCE=∠CFE=60°，易得∠CBE=120°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠FCB+∠BEF=180°，根據(jù)等角的補角相等得∠FCB=∠FEH，則可證明△FCG≌△FEH，得到FG=FH，根據(jù)角平分線的判定得BF平分∠CBE，所以∠FBE=

1

2

∠CBE=60°，
則∠OBG=60°，然后利用OG=

3

OB進行計算；
（3）在DN上截取DP=DM，連接MP、DB，如圖3，通過證明△MNP≌△MBD，得到PN=BD=4，則DN-DP=4，所以DN-DM=4，即DN-DM是定值．

解答：解：（1）如圖1，
∵△ABC為等邊三角形，
而OC⊥AB，
∴OA=OB，∠ACO=30°，∠BAC=60°，
在Rt△ACO中，AO=

3

3

OC=2

3

，
∵AD為∠OAC的平分線，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

3

3

OA=2，
∴D點坐標為（0，2）；

（2）如圖2，作FG⊥BC于G，F(xiàn)H⊥x軸于H，
∵△EFC為等邊三角形，
∴FC=FE，∠FCE=∠CFE=60°，
∵∠OBC=60°，
∴∠CBE=120°，
∴∠FCB+∠BEF=180°，
而∠FEH+∠BEF=180°，
∴∠FCB=∠FEH，
在△FCG和△FEH中，

∠FGC=∠FHE ∠FCG=∠FEH FC=FE

，
∴△FCG≌△FEH（AAS），
∴FG=FH，
∴BF平分∠CBE，
∴∠FBE=

1

2

∠CBE=60°，
∴∠OBG=60°，
∵OB=OA=2

3

，
∴OG=

3

OB=

3

•2

3

=6；

（3）在DN上截取DP=DM，連接MP、DB，如圖3，
∵DO垂直平分AB，
∴DA=DB=2OD=4，
∵∠DAO=30°，
∴∠ADO=60°，
∴∠MDP=60°，
而DM=DP，
∴△DMP為等邊三角形，
∴DM=MP，∠DPM=∠60°，
∴∠MPN=120°，
∵∠MBN=60°，∠MDN=60°，
∴點M、D、B、N四點共圓，
∴∠MND=∠MBD，
在△MNP和△MBD中，

∠MNP=∠MBD ∠MPN=∠MDB MP=MD

，
∴△MNP≌△MBD（AAS），
∴PN=BD=4，
∴DN-DP=4，
∴DN-DM=4．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．記住等邊三角形的性質(zhì)．