Question

在Rt△BAC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=

1

4

，點D在BC  上，AC=AD=4，將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)到△EFC的位置，若點E落在AD的延長線上，連接BF交AD延長線于點G，那么BG=

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CE，BC=CF，∠ACE=∠BCF，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠CAD=∠CBF，從而得到△ACD和△BGD相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出BD=BG，過點A作AH⊥CD于H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CH，再解直角三角形求出CH，BC，然后根據(jù)BD=BC-CD代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．

解答：解：∵△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFC，
∴AC=CE，BC=CF，∠ACE=∠BCF（為旋轉(zhuǎn)角），
∵∠CAD=

1

2

（180°-∠ACE），∠CBF=

1

2

（180°-∠BCF），
∴∠CAD=∠CBF，
又∵∠ADC=∠BDG，
∴△ACD∽△BGD，
∴

AC

AD

=

BG

BD

，
∵AC=AD，
∴BG=BD，
過點A作AH⊥CD于H，則CD=2CH，
∵cos∠ACB=

1

4

，AC=4，
∴

CH

AC

=

AC

BC

=

1

4

，
即

CH

4

=

4

BC

=

1

4

，
解得CH=1，BC=16，
∴CD=2×1=2，
BD=BC-CD=16-2=14，
∴BG=14．
故答案為：14．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解直角三角形，求出BG=BD是解題的關鍵，也是本題的難點．