Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．

（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接BD，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/秒的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/秒的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動．當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t．問是否存在這樣的t使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出t的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）；（3）存在，當(dāng)t＝s或s時，△APQ與△ADB相似．

【解析】

（1）根據(jù)正切的定義求出BC，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)△ABC∽△ADB，得到=，代入計算求出AD，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）分△APQ∽△ABD、△AQP∽△ABD兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可．

解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，

∴＝，即＝，

解得，BC＝3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）；

（2）如圖1，作BD⊥BA交x軸于點(diǎn)D，

則∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，

∴△ABC∽△ADB，

∴＝，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，

∴＝，

解得，AD＝，

則OD＝AD﹣AO＝，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）；

（3）存在，

由題意得，AP＝2t，AQ＝﹣t，

當(dāng)PQ⊥AB時，PQ∥BD，

∴△APQ∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

當(dāng)PQ⊥AD時，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，

∴△AQP∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

綜上所述，當(dāng)t＝s或s時，△APQ與△ADB相似．