Question

如圖，ABCD是正方形，E是CF上一點，若DBEF是菱形，則∠EBC=

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：過D作DG垂直于CF，垂足為G，由正方形的性質(zhì)可得出正方形的四條邊相等，且四個角為直角，三角形BCD為等腰直角三角形，可得出∠BDC與∠DBC都為45°，設(shè)正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理求出BD的長為

2

，即菱形的四條邊為

2

，由DG與FC垂直，且BD與EF平行，可得BD垂直于DG，進(jìn)而得到∠CDG為45°，即三角形DCG為等腰直角三角形，由DC的長為1，可求出DG為

2

2

，在直角三角形DFG中，由DG為DF的一半，得到∠F為30°，再根據(jù)菱形的對角相等，可得∠DBE為30°，由∠EBC=∠DBC-∠DBE求出度數(shù)即可．

解答：解：過D作DG⊥CF，垂足為G，如圖所示：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠CBD=∠CDB=45°，∠BCD=90°，
設(shè)正方形ABCD的邊長為1，即AB=BC=CD=AD=1，
∴根據(jù)勾股定理得：BD=

1+1

=

2

，
∵四邊形BEFD為菱形，
∴BE=EF=DF=BD=

2

，
又∵BD∥EF，DG⊥FC，
∴BD⊥DG，即∠BDG=90°，
∴∠CDG=∠BDG-∠BDC=90°-45°=45°，又∠DGC=90°，
∴△DCG為等腰直角三角形，又DC=1，
∴DG=DCsin45°=

2

2

，又DF=

2

，
在Rt△DFG中，由DG=

1

2

DF，
∴∠F=30°，
∴∠DBE=30°，
則∠EBC=∠DBC-∠DBE=45°-30°=15°．
故答案是：15°．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線DG是本題的突破點，熟練掌握圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．