Question

直線y=kx-4與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，且

OC

OB

=

4

3

．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和k的值；
（2）若點(diǎn)A時(shí)第一象限內(nèi)的直線y=kx-4上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積是6？
（3）在（2）成立的情況下，x軸上是否存在點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由直線y=kx-4與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，又由

OC

OB

=

4

3

，可求得OB=3，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將其坐標(biāo)代入直線y=kx-4，即可求得k的值；
（2）由△AOB的面積是6，可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，然后代入解析式，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）分別從OA=OP，OA=AP與OP=AP去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線y=kx-4與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)C（0，-4），
∴OC=4，
∵

OC

OB

=

4

3

，
∴OB=3，
∴點(diǎn)B（3，0），
∴3k-4=0，
解得：k=

4

3

；

（2）設(shè)A的縱坐標(biāo)為h，
∵S_△AOB=

1

2

OB•h=6，且OB=3，
∴h=4，
∵直線BC的解析式為：y=

4

3

x-4，
∴當(dāng)y=4時(shí)，4=

4

3

x-4，
解得：x=6，
∴點(diǎn)A（6，4），
∴當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到（6，4）時(shí)，△AOB的面積是6；

（3）存在．
∵A（6，4），
∴OA=

62+42

=2

13

，
①若OP=OA=2

13

，則點(diǎn)P₁（2

13

，0），P₂（-2

13

，0）；
②若OA=AP，
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，則PM=OM=6，
∴P₃（12，0）；
③若OP=AP，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OA于點(diǎn)N，
則ON=AN=

1

2

OA=

13

，
∵∠ONP=∠OMA，∠PON=∠AOM，
∴△OPN∽△OAM，
∴

OP

OA

=

ON

OM

，
∴

OP

2 13

=

13

6

，
解得：OP=

13

3

，
∴P₄（

13

3

，0）；
綜上所述：點(diǎn)P₁（2

13

，0），P₂（-2

13

，0），P₃（12，0），P₄（

13

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．