Question

定義：若拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點和頂點構成直角三角形，則稱這條拋物線為“直角拋物線”．
（1）拋物線y=x²-1

 

直角拋物線（填“是”或“不是”）；
（2）直角拋物線y=a（x+2）²-3與x軸交于點A、B（A在B的左側(cè)），頂點為P，求a的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）先求得與x軸的兩交點坐標為（-1，0）和（1，0），頂點坐標（0，-1），利用勾股定理可判定；
（2）由題意可知△PAB為等腰直角三角形，設對稱軸與x軸的交點為F，則有AF=BF=PF，根據(jù)頂點坐標可求得B點坐標，代入可求得a．

解答：解：
（1）令y=0可得x²-1=0，解得x=±1，
∴與x軸的交點坐標為C（-1，0）和D（1，0），
又頂點E坐標為（0，-1），
∴OE=OC=OD，
∴∠CED=90°，
∴拋物線y=x²-1是直角拋物線，
故答案為：是；
（2）設對稱軸與x軸的交點為F，
∵y=a（x+2）²-3是直角拋物線，頂點坐標為P（-2，-3），
∴AF=BF=PF=3，且OF=2，
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴B為（1，0），代入拋物線解析式可得0=a（1+2）²-3，
解得a=

1

3

．

點評：本題主要考查二次函數(shù)與x軸的交點，利用二次函數(shù)的對稱性得到△PAB為等腰直角三角形是解題的關鍵．