Question

【題目】如圖，直線y=-x+1與x軸．y軸分別交于A．B兩點，拋物線y=-x2+bx+c經過點B，且與直線AB的另一交點為C（4，n）．

（1）求n的值及該拋物線所對應的函數關系式；

（2）設拋物線上的一個動點P的橫坐標為t（0＜t＜4），過點P作PD⊥AB于點D，作PE∥y軸交直線AB于點E，

①y軸上存在點Q，使得四邊形QEPB是矩形，請求出點Q的坐標；

②求線段PD的長的最大值；

③當t為何值時，點D為BE的中點．

Answer 1

【答案】（1）n=-2；y=x2+x+1；（2）①點Q的坐標為；②PD最大=；③當t=時，E為BE的中點．

【解析】

（1）把x=4．y=n代入中，即可求出n的值，從而求出中b，c的值；

（2）①由P點的橫坐標為t，則可知P點的縱坐標為，E點的坐標為，而四邊形BPEQ為矩形，點B的坐標為（0，1），則可求得，解得t值；

②易證△PED∽△EBQ，則有，PD=，得出關于t的二次函數，即可求最大值；

③點D為BE的中點，即DE=BE，代入②中，即求得此時的t值．

（1）把x=4．y=n代入中，得：n=×4+1=-2

∴點C的坐標為（4，-2）

將點C（4，-2）和（0，1）代入，得：-8+4b+1=-2

解得：b=

∴y=x2+x+1

（2）①∵P點的橫坐標為t，則P點的縱坐標為，E點的縱坐標為，

∵四邊形BPEQ為矩形，故PB⊥y軸

∵點B的坐標為（0，1）

∴，

解得：t1=0（舍去），t2=

∴t=，

則點E的縱坐標為：

∴點Q的坐標為

②∵PE＝t2+t+1﹣（﹣t+1）＝

QE＝t

QB＝

BE＝＝＝

∵∠BQE＝∠PDE＝90°

∠PEB＝∠EBQ

∴△PED∽△EBQ

∴，得＝

PD＝

∵

∴PD有最大值

PD最大＝＝

③∵點D為BE的中點

∴由，DE=BE，得

代入得=

整理得，25t=-12t2+48t

解得t1=0（舍去），t2=

∴當t=時，E為BE的中點