Question

【題目】如圖，在中，，于，且.點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時直線由點出發(fā)沿方向勻速運動,速度為，運動過程中始終保持，直線交于，交于，連接，設運動時間為.

（1）___________,__________，_____________；（用含的式子表示）

（2）當四邊形是平行四邊形時，求的值；

（3）當點在線段的垂直平分線上時，求的值；

（4）是否存在時刻，使以為直徑的圓與的邊相切？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）以為直徑的圓與的邊相切或或或.

【解析】

（1）根據(jù)題意表示出AM，即可表示出CM，證明BP=PQ，表示出BP即可，

先求出BC長，根據(jù)△BPQ∽△BAC，表示出BQ即可；

（2）當四邊形是平行四邊形時，，列出等式求解即可；

（3）當點在線段的垂線平分線上時，則，分別用代數(shù)式表示出MP和MC，然后解方程即可；

（4）分①與相切，②與相切，③與相切，三種情況，根據(jù)切線的性質(zhì)分別求出t即可.

解：（1）點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，

∴AM=2t，

∵AB=AC=10cm，

∴CM=10-2t，

∵同時直線由點出發(fā)沿方向勻速運動,速度為，

∴BP=t，

∵PQ∥AC，

∴∠PQB=∠C=∠ABC，

∴PQ=BP=t，

∵BD⊥AC，

∴∠BDA=90°，

∵BD=8cm，

∴AD=，

∴CD=4cm，

∴BC=，

∵PQ∥AC，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，即，

∴，

故答案為：，，；

（2）當四邊形是平行四邊形時，

∴，，

即，

解得，

∴四邊形是平行四邊形時，；

（3）當點在線段的垂線平分線上時，

∴，

過點作于點，

在中，

，

，

，

在中，

，

，

，

，

，

，

解得：（舍去），，

∴當點在線段的垂直平分線上時；

（4）存在，理由如下：

①與相切，即時，

∴，

∴，

解得；

②與相切，即，

∴，

∴，

解得：

③與相切，

設圓心為E，與BC的切點為K，連接EK，則EK⊥BC，

作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC于H，

則EK∥PG∥MH，

∵BC=，

∴BS=，

∴AS=，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵E為PM的中點，

∴K為GH的中點，

∴EK為梯形PGHM的中位線，

∴，

∴PM=2KE，

∴

解得：或；

綜上，以為直徑的圓與的邊相切或或或.