Question

【題目】如圖，已知直線與雙曲線（k＞0）交于A、B兩點，點B的坐標為（﹣4，﹣2），C為雙曲線（k＞0）上一點，且在第一象限內(nèi)，若△AOC的面積為6．

（1）求雙曲線的解析式；

（2）求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線的解析式為y=；（2）點C的坐標為（2，4）或（8，1）．

【解析】

(1)根據(jù)雙曲線上已知點求雙曲線解析式，直接代入雙曲線上點即可得出雙曲線的k；（2）根據(jù)題目可以分情況討論，分別為點C在點A 的上方或者下方，然后進行通過圖形分割和組合進行求點C 的位置，具體分割和組合情況見詳解.

（1）∵點B（﹣4，﹣2）在雙曲線（k＞0）上，

∴k=﹣4×（﹣2）=8，

∴雙曲線的解析式為y=；

（2）根據(jù)中心對稱性，點A、B關于原點對稱，

所以，A（4，2）．

如圖，過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，則S△COF=S△AOE=4．

設點C的坐標為（a，），

①如果S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE

=S梯形ACFE

=×（2+）（4﹣a）

=，

∵△AOC的面積為6，

∴=6，

整理得，a2+6a﹣16=0，

解得a1=2，a2=﹣8（舍去），

∴a=2，此時=4，

∴點C的坐標為（2，4）．

②如果S△AOC=S△AOE+S梯形ACFE﹣S△COF

=S梯形ACFE

=×（+2）（a﹣4）

=，

∴=6，

解得：a=8或a=﹣2（舍去）

∴點C的坐標為（8，1）．

綜上所述，點C的坐標為（2，4）或（8，1）．