Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AB邊上不與A點(diǎn)、B點(diǎn)重合的任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，QR⊥AC于點(diǎn)R．
（1）求證：PQ=BQ；
（2）設(shè)BP=x，CR=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，PR∥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由已知條件可證得△BPQ為等腰直角三角形，從而證得PQ=BQ．
（2）根據(jù)題意證三角形BPQ和三角形CQR都是等腰直角三角形，得到CQ和BQ的和等于BC，從而得到y(tǒng)與x的關(guān)系．
（3）因?yàn)镻R∥BC，從而得到△APR和△ABC相似，對(duì)應(yīng)線段成比例，得到x的值．

解答：（1）證明：∵∠A=90°，AB=AC=1
∴∠B=∠C=45°
又∵PQ⊥BQ
∴∠BPQ=45°
∴△BPQ是等腰三角形
∴PQ=BQ．
（2）解：在等腰直角△BPQ中，
∵BP=x
∴BQ=

2

2

x
在Rt△ABC中，BC=

AB2+BC2

=

1+1

=

2

在等腰直角三角形CQR中，CR=y
∴CQ=

2

y
∵CQ=BC-BQ
即

2

y=

2

-

2

2

x
所以y=-

1

2

x+1．
（3）解：∵PR∥BC，PQ⊥BC
∴PR⊥PQ
又∵△BPQ為等腰三角形，
∴PQ=

2

2

x
∵PR∥BC
∴∠PRQ=∠RQC=45°
∴PR=

2

2

x
∠A=∠A，∠APR=∠B，∠ARP=∠C
∴△APR∽△ABC
∴

PR

BC

=

PA

AB

即

2 2 x

2

=

1-x

1

解得：x=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例來(lái)解決問(wèn)題．